Tal vez una alternativa.
$$
\DeclareMathOperator\Ker{Ker}
\DeclareMathOperator\im{Im}
$$
Suponga $\dim V =n <\infty$. Entonces si $v \in V$ que $\mathcal A^k v = 0$ para algunos $k \in \mathbb N$, a continuación, $0= \mathcal A(\mathcal A^k v)=\mathcal A^{k+1}v$, lo $\Ker (\mathcal A^k) \subseteq \Ker (\mathcal A^{k+1})$. También si $u = \mathcal A^{k+1}v$, a continuación, $u = \mathcal A^k (\mathcal A v)$, por lo tanto $\im(\mathcal A^{k+1}) \subseteq \im (\mathcal A^k)$. Así tenemos a dos cadenas
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0\subseteq \Ker \mathcal A \subseteq \Ker(\mathcal A^2) \subseteq \dots \subseteq \Ker(\mathcal A^m) \subseteq \cdots \subseteq V
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y
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V \supseteq \im\mathcal Un \supseteq \im(\mathcal A^2) \supseteq \dots \supseteq \im(\mathcal A^m) \supseteq \cdots \supseteq 0.
$$
Por lo tanto, tenemos la dimensión de $\Ker (\mathcal A^j)$ aumenta, la dimensión de la $\im(\mathcal A^j)$ disminuye. Si bien la secuencia de ellos es estrictamente monótona, entonces van a ser ilimitada, contradiciendo el hecho de $\dim V <\infty$. De modo que existe algo de $k\in \mathbb N$ s.t. $\dim(\Ker(\mathcal A^k)) = \dim(\Ker(\mathcal A^{k+1}))$. A continuación, para cada una de las $p\in \mathbb N^*$si $\mathcal A^{k+p+1} v =0$, a continuación, $\mathcal A^{k+1} (\mathcal A^p v)$, es decir, $\mathcal A^p v \in \Ker(\mathcal A^{k+1}) = \Ker(\mathcal A^k)$, lo $\mathcal A^{p+k} v =0$. Por lo tanto $\Ker(\mathcal A^{p+k+1}) = \Ker(\mathcal A^{p+k})$. Por lo tanto, $\Ker(\mathcal A^k) = \Ker(\mathcal A^{k+p})$ para todos los $p \in \mathbb N^*$. Ahora uso la clasificación de nulidad teorema, tenemos $\dim(\Ker(\mathcal A^j)) + \dim(\im(\mathcal A^j)) = \dim V$ por cada $j \in \mathbb N$. Por tanto, para la misma $k$, $\im(\mathcal A^k) = \im (\mathcal A^{k+p})$ por cada $p \in \mathbb N^*$.
Ahora tenemos fácil ver que $\mathcal A\vert_{\Ker(\mathcal A^k)}$ es nilpotent con índice de $k$: $u \in \Ker(\mathcal A^k)$, $\mathcal A^k u =0$. Para $v \in \im(\mathcal A^k)$, hay algunos $w\in V$ que $v = \mathcal A^k w$. Supongamos $\mathcal Av = 0$, a continuación, $\mathcal A^{k+1}w =0$, lo $w \in \Ker (\mathcal A^{k+1}) = \Ker(\mathcal A^k)$, lo $v =\mathcal A^k w = 0$. Por lo tanto, $\mathcal A\vert_{\im(\mathcal A^k)}$ es invertible.
Para el $\oplus$, sólo tenemos que mostrar que $\Ker(\mathcal A^k) \cap \im(\mathcal A^k) =0$. Supongamos $x$ es en esta intersección, $x = \mathcal A^k y$ para algunos $y\in V$. También se $\mathcal A^k x =0$, lo $y \in \Ker(\mathcal A^{2k}) = \Ker(\mathcal A^k)$, es decir, $\mathcal A^k y = 0$, por lo tanto $x = 0$. Ahora la prueba se ha completado.
