Un anillo que contiene un ideal maximal de baja actividad

Question

He encontrado esta observación en mi libro, pero yo no lo entiendo así.

Deje $R$ un anillo conmutativo sin identidad, pero tener un único generador, a continuación, $R$ contiene nonprime máximo ideal.

Suponemos que a $R=(a)$. Primero observar que el principal ideal de $(a^2)$ es un buen ideal de $R$, ya que el generador de $a\notin (a^2)$. De hecho, se $a$ en $(a^2)$, podríamos escribir $a=ra^2+na^2$ mismo $r\in R$ e $n\in \mathbb{Z}$;

Por qué, en este caso, el elemento $e=ra+na$ es una identidad multiplicativa para $R$? Por lo tanto, desde el $e$ es una identidad de $R$son violados de la hipótesis.

Ahora, desde la $R\ne (a^2)$, existe un ideal maximal $M$ de $R$ con $(a^2)\subseteq M$. Sin embargo $M$ no es un alojamiento ideal, como puede verse al considerar el producto de los elementos en el te complemento de $M$ ($r,s\notin M$), el producto $rs\in (a^2)\subseteq M$. (¿Por qué esto es la negación de una definición de primer ideal?)

Alguien me explicara cómo son las cosas?

Gracias!

Answer 1

Supongamos que $a=ra^2+na^2$. A continuación, $a(ra+na)=a$, lo $ae=a$. Entonces, para cualquier $x\in R$, $x=ta+ma$ para algunos $t\in R$, $m\in \mathbb{Z}$. Por lo $xe= (ta+ma)e= tae+mae= ta+ma=x$. Por lo tanto, $e$ es el elemento de identidad.

Para demostrar que $M$ no es un alojamiento ideal, es suficiente para comprobar que hay dos ideales $A$, $B$ con $AB\subseteq M$, e $A$ e $B$ no $M$. Tomando $A=B=(a)$, $AB=(a)(a)\subseteq (a^2)\subseteq M$, pero $(a)=R$ no está contenido en $M$ porque es un ideal maximal, entonces, por definición, $M\neq R$.

Answer 2

Ya que cada elemento de a$R$ puede ser escrito como $ra+na$ para algunos $r\in R$ e $n\in\mathbb{Z}$, si nos encontramos con $e\in R$ tal que $ae=a$, a continuación, $e$ será la identidad de $R$.

Si $a\in(a^2)$, a continuación, $a=ra^2+na^2$, para algunas de las $r\in R$ e $n\in\mathbb{Z}$. Set $e=ra+na$; a continuación, $ae=a$.

Ahora tome un ideal $M$ de $R$ maximal con respecto a la propiedad que

1. $(a^2)\subseteq M$;
2. $a\notin M$.

Un elemento maximal existe por el lema de Zorn: la unión de una cadena de ideales que contienen a$(a^2)$ y que no contengan $a$ es de nuevo un ideal que satisface la misma propiedad. Claramente este ideal no es primo, porque $a\notin M$, pero $aa=a^2\in M$.

Vamos a demostrar que $M$ es máxima. Si $I$ es un ideal de a$R$ correctamente contengan $M$, a continuación, $I$ contiene $(a^2)$, de modo que por la elección de $M$ debemos tener $a\in I$. Por lo tanto $I=R$.

Nota: el hecho de que $R=(a)$ es crucial. Un anillo sin una identidad, puede no tener la máxima ideales.

Answer 3

<span class="math-container">$4\mathbb{Z}$</span> <span class="math-container">$2\mathbb{Z}$</span>. Tenga en cuenta <span class="math-container">$4 = 2 \cdot 2 \in 4\mathbb{Z}$</span> <span class="math-container">$2 \not \in 4 \mathbb{Z}$</span>. No hay ningún ideal entre <span class="math-container">$4\mathbb{Z}$</span> y <span class="math-container">$2 \mathbb{Z}$</span>.

(Nota que esto es un ejemplo concreto de su ejemplo más abstracto).

Answer 4

Para la primera parte, usted tiene la idea, pero si $a\in (a^2)$, puede escribir $a=P(a^2) $ donde $P$ es un polinomio. Deje $M$ ser un ideal maximal que contiene a$(a^2)$, $a.a=a^2$ es de $M$ pero $a$ no es en $ M$. Esto implica que $M$ no es primo.

Answer 5

Para la segunda pregunta, la definición de un primer ideal es que $I$ es primo si por cualquier $a, b \in R$ tal que $ab \in I$ entonces $a \in I$ o $b \in I$. Así que si podemos encontrar $a, b \in R \setminus I$ con $ab \in I$ esto nos demuestra que $I$ no fue el primer.

Ahora en la situación de la pregunta que nos tenemos un ideal maximal $M$ de $R = (a)$ con $(a^2) \subseteq M$. Deje $r, s \in R \setminus M$. A continuación, $r = ta + ma$ e $s = ua + na$ para algunos $t, u \in R$, $m, n \in \Bbb Z$, lo $rs = (tu + tn + mu + mn)a^2 \in (a^2) \subset M$. Por lo tanto $rs \in M$ pero $r \notin M$, $s \notin M$, como se requiere para demostrar que $M$ no fue el primer.