En un operadores de álgebra $\mathcal{A}$ se puede considerar un auto-adjoint (es decir, real) operador $H$ y la nota que $$U=e^{iH}$$ exists and is unitary. A mathematical question will be whether any unitary operator $U$ is of this form. For there even exist examples where $X,Y$ are self-adjoint and $XY\neq YX$y $$ e^{iX}e^{i y}\neq e^{i(X+Y)}. $$ Me gustaría saber qué información se puede deducir por $U$ sabiendo que existe un logaritmo $$H=\frac{1}{i}\log U,$$ y cuáles son aplicaciones concretas en QM para esto.
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yuggib
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La Piedra del teorema demuestra el siguiente. Considere la posibilidad de un grupo de operadores unitarios $(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$ que actúa sobre un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ (es decir, la satisfacción de $U(t+s)=U(t)U(s)$, en términos matemáticos esta es una representación unitaria del grupo abelian $\mathbb{R}$ a $\mathscr{H}$). Si además de esos grupos es fuertemente continuo, es decir, es tal que para todos los $\psi\in\mathscr{H}$ $$\lim_{t\to 0} \, \lVert U(t)\psi-\psi\rVert_{\mathscr{H}}=0\; ,$$ entonces existe un sí mismo-adjoint operador $H$ definido en $D(H)\subseteq\mathscr{H}$ que genera la dinámica, es decir, tal que para todos los $\psi\in D(H)$ $$\lim_{t\to 0}\lVert \frac{1}{t}(U(t)-1)\psi+iH\psi\rVert_{\mathscr{H}}=0\; ,$$ y para todos los $\phi\in \mathscr{H}$, $U(t)\phi=e^{-itH}\phi$ donde el lado derecho es definido por el teorema espectral. También por el teorema espectral, es en este caso "justificado" para escribir $H=i\ln U(1)$.
El teorema anterior es el que habitualmente se utiliza en la mecánica cuántica, puesto que se relaciona el Hamiltoniano cuántico (el generador de $H$) a la central unitaria de la dinámica que genera (el grupo $U(t)$). Hay maneras de tomar el "logaritmo" de un solo operador unitario (por ejemplo, por medio de un Cayley transformar), sin embargo esto no es muy relevante en la física desde los objetos importantes son unitario de representaciones de la simetría de los grupos de operadores unitarios de por sí.
razeh
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Tiempo de evolución de la mecánica cuántica* está representada por la acción de un operador unitario $U=e^{iHt}$, donde $H$ es el Hamiltoniano del sistema en cuestión. Nos suele caracterizar (no relativista**) sistemas cuánticos por su Hamiltoniano; en principio, uno podría determinar*** el Hamiltoniano de un sistema dado una evolución en el tiempo del operador $U$ tomando $\frac{1}{it}\log U$. En la práctica, va en esta dirección general no es práctico desde el punto de vista experimental, que es la razón por la que esto no es mencionado a menudo.
*En la mecánica cuántica, la cuestión de que los objetos evolucionan en el tiempo es una cuestión de interpretación. En algunos casos es más fácil pensar en el wavefunctions de la evolución en el tiempo (la "imagen de Schrödinger"), en otros casos es más sencillo pensar de los operadores de la evolución en el tiempo (la "Heisenberg imagen"), y en otros casos es una combinación de ambos, que es el más simple (la "interacción de la imagen").
**El Hamiltoniano no es de Lorentz-invariante, que es la razón por la que no se ve a menudo en relativista de la mecánica cuántica/QFT. El Lagrangiano, por otro lado, es.
***El registro no es necesariamente único, por lo que el Hamiltoniano sólo puede ser "determinado" hasta el equivalente de elección de la rama de corte.
