Aquí hay más detalles sobre la técnica que se utiliza en Batominovski la respuesta. Supongamos $3^{15} + 37 = a^2$ para algunos entero $a$. Escrito $b = 3^7$, esto le da
$$a^2 - 3b^2 = 37$$
que es una Pell-tipo de ecuación, y es posible describir explícitamente todas las soluciones y, a continuación, sólo comprobar si alguno de ellos ocurra para satisfacer $b = 3^7$. Crecen de manera exponencial rápidamente, así que esto es bastante corto finito de búsqueda.
La ecuación, equivalentemente, puede ser escrito como una norma ecuación
$$N(a + \sqrt{3} b) = 37$$
y los más pequeños de la solución es $a = 7, b = 2$. Podemos encontrar otras soluciones multiplicando $x = 7 + 2 \sqrt{3}$ por una unidad de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ norma $1$. El grupo de tales unidades es cíclico con generador de $y = 2 + \sqrt{3}$, la unidad fundamental (véase, por ejemplo, estas notas), y de ahí que podamos encontrar soluciones a $N(a + b \sqrt{3}) = 37$ repetidamente multiplicando por $y$ e $y^{-1} = 2 - \sqrt{3}$ como sigue:
$$x = 7 + 2 \sqrt{3}$$
$$xy = 20 + 11 \sqrt{3}$$
$$xy^{-1} = 8 - 3 \sqrt{3}$$
$$xy^2 = 73 + 42 \sqrt{3}$$
$$xy^{-2} = 25 - 14 \sqrt{3}$$
$$xy^3 = 272 + 157 \sqrt{3}$$
$$xy^{-3} = 92 - 53 \sqrt{3}$$
$$xy^4 = 1015 + 586 \sqrt{3}$$
$$xy^{-4} = 343 - 198 \sqrt{3}$$
$$xy^5 = 3788 + 2187 \sqrt{3}$$
y en este punto hemos terminado, porque $2187 = 3^7$. Si habíamos mantenido hasta los valores de $b$ obtuvo mayor que $2187$, a continuación, se habría detenido y concluyó que $3^{15} + 37$ no es un cuadrado.
Hay una pregunta de si este proceso fue garantizados para generar todas las soluciones. Tenemos $37 = (7 + 2 \sqrt{3})(7 - 2 \sqrt{3})$, e $7 \pm 2 \sqrt{3}$ tanto en primer lugar las normas, y por lo tanto son los principales. $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es una unidad flash usb, por lo que estos son los únicos elementos de la norma $37$, hasta las unidades; equivalentemente, cada elemento de la norma $37$ es $7 \pm 2 \sqrt{3}$ veces una unidad, por lo que el procedimiento anterior genera todas las soluciones a firmar.
Desafortunadamente, esta técnica es de ninguna ayuda en la búsqueda de la identidad. Lo hace correctamente sugieren que tales identidades deben ser raras.
He aquí un enfoque para la búsqueda de la identidad, aunque tal vez todavía no por la pluma y el papel. Si $3^{2n+1}$ es cerca de un cuadrado, a continuación, $3^n \sqrt{3}$ está cerca de un entero, por lo que no solo han encontrado una buena aproximación racional a $\sqrt{3}$ pero uno cuyo denominador es en sí misma un poder de $3$. Puede buscar estos mediante el cálculo de $\sqrt{3}$ en base $3$ y en busca de largos tramos de $0$s o $2$s. Esta expansión comienza
$$\sqrt{3} = 1.2012021222212 \dots_3$$
y ese tramo de cuatro $2$s implica que $3^7 \sqrt{3}$ es inusualmente cerca de un entero. Que entero es $12012022_3 = 3788$ como se esperaba. Hice ambos de estos cálculos con WolframAlpha, aunque.
