¡Rápido! Probar que$3^{15}+37$ es un cuadrado.

Question

CONTEXTO: he estado estudiando los extraños poderes de $3$ y tratando de determinar cuando están "cerca" de la plaza de los números; más específicamente, me han conjeturado que existe un número finito de soluciones de $m,n$ a de la ecuación de diophantine $$|3^{2m+1}-n^2|<m^2$$ y algunos ejemplos de soluciones que incluyen la $3^7+22=47^2$, $3^{11}+94=421^2$, e $3^{15}+37=3788^2$. Entonces se me ocurrió que viene con alguna de estas soluciones de tomar una gran cantidad de tiempo si yo no tenía ninguna calculadora.

PREGUNTA: ¿Cómo se podría mostrar a mano en un corto período de tiempo (por ejemplo, $5$ minutos de cálculo en la mayoría) que $3^{15}+37$ es un cuadrado perfecto? Idealmente, uno podría encontrar su raíz cuadrada, pero tal vez hay alguna manera de demostrar su plaza-ness sin hacer esto? Me imagino que cualquier forma rápida de hacer esto podría basarse en algún tipo de factoring truco, pero no he sido capaz de salir con uno.

Answer 1

Aquí hay más detalles sobre la técnica que se utiliza en Batominovski la respuesta. Supongamos $3^{15} + 37 = a^2$ para algunos entero $a$. Escrito $b = 3^7$, esto le da

$$a^2 - 3b^2 = 37$$

que es una Pell-tipo de ecuación, y es posible describir explícitamente todas las soluciones y, a continuación, sólo comprobar si alguno de ellos ocurra para satisfacer $b = 3^7$. Crecen de manera exponencial rápidamente, así que esto es bastante corto finito de búsqueda.

La ecuación, equivalentemente, puede ser escrito como una norma ecuación

$$N(a + \sqrt{3} b) = 37$$

y los más pequeños de la solución es $a = 7, b = 2$. Podemos encontrar otras soluciones multiplicando $x = 7 + 2 \sqrt{3}$ por una unidad de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ norma $1$. El grupo de tales unidades es cíclico con generador de $y = 2 + \sqrt{3}$, la unidad fundamental (véase, por ejemplo, estas notas), y de ahí que podamos encontrar soluciones a $N(a + b \sqrt{3}) = 37$ repetidamente multiplicando por $y$ e $y^{-1} = 2 - \sqrt{3}$ como sigue:

$$x = 7 + 2 \sqrt{3}$$ $$xy = 20 + 11 \sqrt{3}$$ $$xy^{-1} = 8 - 3 \sqrt{3}$$ $$xy^2 = 73 + 42 \sqrt{3}$$ $$xy^{-2} = 25 - 14 \sqrt{3}$$ $$xy^3 = 272 + 157 \sqrt{3}$$ $$xy^{-3} = 92 - 53 \sqrt{3}$$ $$xy^4 = 1015 + 586 \sqrt{3}$$ $$xy^{-4} = 343 - 198 \sqrt{3}$$ $$xy^5 = 3788 + 2187 \sqrt{3}$$

y en este punto hemos terminado, porque $2187 = 3^7$. Si habíamos mantenido hasta los valores de $b$ obtuvo mayor que $2187$, a continuación, se habría detenido y concluyó que $3^{15} + 37$ no es un cuadrado.

Hay una pregunta de si este proceso fue garantizados para generar todas las soluciones. Tenemos $37 = (7 + 2 \sqrt{3})(7 - 2 \sqrt{3})$, e $7 \pm 2 \sqrt{3}$ tanto en primer lugar las normas, y por lo tanto son los principales. $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es una unidad flash usb, por lo que estos son los únicos elementos de la norma $37$, hasta las unidades; equivalentemente, cada elemento de la norma $37$ es $7 \pm 2 \sqrt{3}$ veces una unidad, por lo que el procedimiento anterior genera todas las soluciones a firmar.

Desafortunadamente, esta técnica es de ninguna ayuda en la búsqueda de la identidad. Lo hace correctamente sugieren que tales identidades deben ser raras.

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He aquí un enfoque para la búsqueda de la identidad, aunque tal vez todavía no por la pluma y el papel. Si $3^{2n+1}$ es cerca de un cuadrado, a continuación, $3^n \sqrt{3}$ está cerca de un entero, por lo que no solo han encontrado una buena aproximación racional a $\sqrt{3}$ pero uno cuyo denominador es en sí misma un poder de $3$. Puede buscar estos mediante el cálculo de $\sqrt{3}$ en base $3$ y en busca de largos tramos de $0$s o $2$s. Esta expansión comienza

$$\sqrt{3} = 1.2012021222212 \dots_3$$

y ese tramo de cuatro $2$s implica que $3^7 \sqrt{3}$ es inusualmente cerca de un entero. Que entero es $12012022_3 = 3788$ como se esperaba. Hice ambos de estos cálculos con WolframAlpha, aunque.

Answer 2

Esto es más como un comentario, pero es demasiado largo. Mi respuesta no es en realidad una buena manera de mostrar que $3^{15}+37$ es un cuadrado perfecto. Usted tiene que a priori sabemos que es un cuadrado perfecto, con el fin de proceder con este Pell-ecuación de adivinar. Por otra parte, en el cálculo no se puede hacer en $5$ minutos o menos (a menos que usted es un savant).

Tenga en cuenta que $37=7^2-3\cdot 2^2$ e $1=2^2-3\cdot 1^2$. Ahora, tenga en cuenta que $$(7+2\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})^5=3788+2187\sqrt{3}=3788+3^{\frac{15}{2}}\,.$$ Por lo tanto, $$(7-2\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})^5=3788-2187\sqrt{3}=3788-3^{\frac{15}{2}}\,.$$ La multiplicación de las dos ecuaciones anteriores rendimientos $$37=3788^2-3^{15}\,.$$ Por lo tanto, $3^{15}+37=3788^2$ es el cuadrado de un entero.

Debido a Qiaochu Yuan del tipo (eliminado) observación, $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es una única factorización de dominio (que yo defectuosamente recordar que no era). Si usted comenzó con una diferente solución mínima $(x,y)\in\mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}$ a la ecuación de Pell $x^2-3y^2=37$, es decir, $(x,y)=(8,3)$, entonces usted podría conseguir el mismo la prueba: $$(8+3\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})^{-6}=3788-2187\sqrt{3}=3788-3^{\frac{15}{2}}$$ y $$(8-3\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})^{-6}=3788-2187\sqrt{3}=3788+3^{\frac{15}{2}}\,.$$

Answer 3

$3^{15}+1=(3^5+1)(3^{10}-3^5+1)=244*(243*242+1)=2^2*7*31*61*271$

Esto puede ser dos factores.

$=(61*62)(14*271)=3782*3794=3788^2-6^2$

Answer 4

La comprobación de que $3^{15}+37$ es (o no es) un cuadrado de $5$ minutos por lado es muy posible. Es útil saber que $3^6=729$, así que usted puede escribir $3^{15}=27\cdot 729 \cdot 729=3\cdot 2187\cdot 2187$ Haciendo el multiplicar no debe tomar un minuto, a continuación, si usted sabe cómo tomar una raíz cuadrada a mano de cuatro minutos debería ser suficiente fácilmente. Usted puede usar este método para encontrar como bien acaba de calcular $3^{15},$ tomar su raíz cuadrada, y cuando llegas a las unidades de lugar a ver cuánto usted necesita agregar a salido aun. Creo que el dígito por dígito método para raíces cuadradas toma alrededor de dos veces tan largo como la división para el mismo número de cifras en el dividendo, pero por ocho dígitos que no te llevará demasiado tiempo.