Una prima$p$ del formulario$4k+1$ implica que$k^k \equiv 1 \mod p$?

Question

No puedo probar esta afirmación que parece estar relacionado con Fermat poco teorema. Agradecería indicaciones para demostrar este resultado (sugerencias, enlaces, etc.)

Seguir a @marca-bennet sugerencias:
$4k \equiv -1 \implies (4k)^k \equiv (-1)^k$
Utilizamos el hecho de que $k = \frac{p-1}{4}$, luego
$4^{\left(\frac{p-1}{4}\right)} k^k \equiv (-1)^k \implies 2^{\left(\frac{p-1}{2}\right)} k^k \equiv (-1)^k$
Utilizamos el símbolo de Legendre $\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}$ a expresar $2^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}$
$\left(\frac{2}{p}\right) k^k \equiv (-1)^k$
Sabemos que (véase el símbolo de Legendre en la wikipedia)
$\left(\frac{2}{p}\right) \equiv \left\{\begin{array}[ll] +1 & \text{if } p \equiv 1 \text{ or } 7 \mod 8\\ -1 & \text{if } p \equiv 3 \text{ or } 5 \mod 8\end{array}\right.$
Si $k$ es impar, entonces $k=2r+1 \implies p=4k+1=8r+5 \implies \left(\frac{2}{p}\right)=-1$
Si $k$ es incluso, a continuación, $k=2r \implies p=4k+1=8r+1 \implies \left(\frac{2}{p}\right)=1$
En ambos casos, $k^k\equiv 1$

Answer 1

Aquí es una sugerencia de cómo podría empezar:

$$4k\equiv -1$$

así

$$(4k)^k\equiv (-1)^k$$and that should be enough to get you $k^k$ en términos de algo más que usted podría saber cómo trabajar con el.

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Para desarrollar mis comentarios un poco, tenemos que $2$ es un cuadrado mod $p$ para $p\equiv \pm 1\bmod 8$ e lo contrario no es un cuadrado.

También se $(-1)^k=\pm 1$ dependiendo de si $k$ es par o impar.

Si $k=2r+1$ es impar, entonces $p=4k+1=8r+5$ e $2$ no es un cuadrado mod $p$. Si $k$ es incluso entonces $2$ es un cuadrado.

Todavía hay un poco de trabajo que hacer - para comprobar que mis afirmaciones acerca de la $2$ como un cuadrado son verdaderas, por ejemplo, y cómo es que puede ser utilizado.