Relaciones de recurrencia y límites, difícil.

Question

Me gustaria una sugerencia para el siguiente, más específicamente, cuál es la estrategia o enfoque debo hacer para probar el siguiente?

Problema: Vamos a $P \geq 2$ ser un número entero. Definir la periodicidad $$p_n = p_{n-1} + \left\lfloor \frac{p_{n-4}}{2} \right\rfloor$$ con las condiciones iniciales: $$p_0 = P + \left\lfloor \frac{P}{2} \right\rfloor$$ $$p_1 = P + 2\left\lfloor \frac{P}{2} \right\rfloor$$ $$p_2 = P + 3\left\lfloor \frac{P}{2} \right\rfloor$$ $$p_3 = P + 4\left\lfloor \frac{P}{2} \right\rfloor$$

Demostrar que el siguiente límite converge: $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n}{z^n}$$ donde $z$ es la verdadera solución a la ecuación de $x^4 - x^3 - \frac{1}{2} = 0$.

Nota: ya he probado lo siguiente: $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n}{p_{n-1}} = z$$ Alguna idea? No estoy seguro si este resultado ayuda. También se $\lim_{n\rightarrow \infty}p_n/z^n$ también está bordeada por encima y por debajo. He intentado mostrar a $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n}{z^n}$ es de Cauchy, pero no tuvo suerte con eso. No sé cuál es el límite converge a cualquiera.

Edit: yo creo que el límite debería converger como $p_n$ logra un fin comportamiento de la forma $cz^n$ $c \in \mathbb{R}$ (esto viene del hecho de que el límite de los cocientes de las $p_n$ convergen a $z$), sin embargo no sé cómo hacer este riguroso.

Edit 2: Probando el límite que existe es equivalente a mostrar $$p_0 \cdot \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{p_n/p_{n-1}}{z} \right)$$ converge.

ACTUALIZADO:

Si alguien pudiera demostrar que $|p_n-z \cdot p_{n-1}|$ está delimitado por encima (o converge o diverge), entonces la prueba es completa.

Answer 1

No sé si puede demostrar que $\frac{p_n}{z^n} = 1 $. Si la secuencia $\frac{p_n}{p_{n-1}} $ enfoques $z$ desde el mismo lado, cada término del producto supera $z$, de modo que el producto se siempre se superan $z^n$.

Lo que usted puedemostrar es que $\lim \frac{p_n^{1/n}}{z} = 1 $. Ahora voy a dar el estándar, no prueba original.

Una vez que han demostrado que $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n}{p_{n-1}} = z $, la parte difícil está hecho. El resto es un estándar buena parte/mal-parte de la división de en $p_n$.

A partir de ese límite, para cualquier $c > 0$, hay un $N = N(c)$ tal que $z-c < \frac{p_n}{p_{n-1}} < z+c $ para $n > N(c) $.

Entonces (esta es la forma en que estas pruebas suelen ir)

$\begin{array}\\ \frac{p_n}{p_0} &=\prod_{k=1}^{n} \frac{p_k}{p_{k-1}}\\ &=\prod_{k=1}^{N(c)} \frac{p_k}{p_{k-1}}\prod_{k=N(c)1}^{n} \frac{p_k}{p_{k-1}}\\ &=P(c)\prod_{k=N(c)+1}^{n} \frac{p_k}{p_{k-1}}\\ &< P(c)(z+c)^{n-N(c)} \qquad\text{(this is for an upper bound - the lower bound proof is similar)}\\ \text{so}\\ \frac{p_n}{z^n} &< \frac{P(c)(z+c)^{n-N(c)}}{z^n}\\ &= \frac{P(c)(1+c/z)^{n-N(c)}}{z^{N(c)}}\\ &= (1+c/z)^n\frac{P(c)}{z^{N(c)}(1+c/z)^{N(c)}}\\ &= (1+c/z)^n\frac{P(c)}{(z+c)^{N(c)}}\\ \text{so that}\\ \frac{p_n^{1/n}}{z} &< (1+c/z)\left(\frac{P(c)}{(z+c)^{N(c)}}\right)^{1/n}\\ &= (1+c/z)R(c)^{1/n} \qquad\text{where }R(c) = \frac{P(c)}{(z+c)^{N(c)}}\\ \end{array} $

Por lo tanto, tomando $c$ pequeña y dejando $n$ obtener grandes tenemos $\lim \sup \frac{p_n^{1/n}}{z} \le 1 $.

Un casi idéntico, cortar-y-pasteable la prueba muestran que $\lim \inf \frac{p_n^{1/n}}{z} \ge 1 $, así que $\lim \frac{p_n^{1/n}}{z} = 1 $.