No es Correcto

Question

$\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}+x = \lim_{x\to -\infty}(-x)+x=\lim_{x\to -\infty}0 = 0$

Al parecer, el 2º paso es ilegal aquí. Probablemente porque para $x=-\infty$ me gustaría obtener $(+\infty-\infty)$ que no es posible. Puedo ver por qué esto no sería posible, no estoy seguro de si realmente es la causa que hace que la ecuación ilegal, aunque.

Pero ahora, al parecer, yo podría hacer esto:

$\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}+x=\lim_{x\to -\infty}\frac{[\sqrt{x^2+5x+3}+x][\sqrt{x^2+5x+3}-x]}{\sqrt{x^2+5x+3}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2+5x+3-x^2}{\sqrt{x^2+5x+3}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{5x+3}{\sqrt{x^2+5x+3}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{5+3/x}{\sqrt{1+5/x+3/x^2}-1}=-5/2$

lo que me da el resultado correcto.

Pero en el 3º paso yo solía $x^2-x^2=0$, ¿cómo es eso legal? También, en el 2º paso me utiliza de forma implícita:

$-x\sqrt{x^2+5x+3}+x\sqrt{x^2+5x+3}=0$

Lo que también parece estar bien, pero ¿por qué?

Answer 1

$\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}+x = \lim_{x\to -\infty}(-x)+x$

Al parecer, el 2º paso es ilegal aquí.

En este paso, se le cayó $5x+3$ ir de $\sqrt{x^2}$ a $-x$, pero ¿qué te hace pensar que puedes dejar fuera de los términos de $5x+3$...? Seguramente usted de acuerdo en que $x^2+5x+3 \ne x^2$.

Pero en el 3º paso yo solía $x^2-x^2=0$, ¿cómo es eso legal?

Cómo podría no ser legal? La diferencia de dos igualdad de números reales es $0$, por supuesto!

Lo mismo va para:

También, en el 2º paso me utiliza de forma implícita: $-x\sqrt{x^2+5x+3}+x\sqrt{x^2+5x+3}=0$

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Además después de comentario: la idea de dominar términos (en un polinomio) está bien, pero no puede elegir aplicar el límite de "local" y dejar a los demás términos sin cambios.

Para aclarar, esto está muy bien: $$\lim_{x \to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}=\lim_{x \to -\infty}\sqrt{x^2}=+\infty$$ pero eso no es lo que tenemos aquí; tenemos: $$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+3}\color{blue}{+x}\right)$$ y no podemos tomar el límite de los términos por separado $$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+3}\color{blue}{+x}\right)\color{red}{\ne}\lim_{x \to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}+\lim_{x \to -\infty} x$$ debido a que ambos límites deben existir para que este paso sea válida.

Answer 2

El primer paso que se tomó, simplemente, no era correcto.

$$\lim_{x \to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}+x \color{red}{\neq \lim_{x \to \infty}-x+x}$$

Usted no debe dividir un límite si el individuo límites no existen, o no están definidos. Va por $\infty-\infty$ es ciertamente incorrecto, ya que es una forma indeterminada, por lo que debe evitar siempre.

En cuanto a tu pregunta, eres la cancelación $x^2$ e $-x^2$. Eso es simple álgebra y no tiene nada que ver con si $x$ se aproxima a un valor infinito o no. Se aplica siempre para todos los inversos aditivos.

Answer 3

Puede configurar <span class="math-container">$x = -\frac{1}{t}$</span> y considerar el límite de <span class="math-container">$\stackrel{t\rightarrow 0+}{\longrightarrow}$</span>: <span class="math-container">$$\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+5x+3}+x & \stackrel{x = -\frac{1}{t}}{=} & \frac{\sqrt{1-5t +3t^2} - 1}{t} \ & \stackrel{t\rightarrow 0+}{\longrightarrow} & f'(0) = -\frac{5}{2}\mbox{ for } f(t) = \sqrt{1-5t +3t^2} \end{para } $$</span>

Answer 4

El primer paso es ilegal, no el segundo. Esto es debido a que $\sqrt{x^2 + 5x + 3} \not\equiv -x$.

También a resolver su comentario:

La idea detrás de $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + 5x + 3} = \dots = \lim_{x \to -\infty} −x$ era, que $x^2$ dominantes $5x+3$. Yo también pensaba que si ese argumento no está mal aquí, si $\lim_{x \to -\infty} x − x = 0$ es legal y todo lo que de el mismo "tipo"; entonces me siento bien de nuevo. Entonces tengo que pensar acerca de por qué la dominación argumento no funcionan como yo pensé que se hace aquí.

Tienes razón en pensar que $x^2$ domina $5x+3$, por lo que $\color{blue}{\sqrt{x^2 + 5x + 3}} \sim \color{red}{-x}$ para grandes negativo $x$. De hecho, no hay ningún problema en el cómputo de su relación:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\color{blue}{\sqrt{x^2 + 5x + 3}}}{\color{red}{-x}} = 1$$

Sin embargo, debido a que usted está calculando la diferencia entre los $\color{blue}{\sqrt{x^2 + 5x + 3}}$ e $\color{red}{-x}$, una aproximación no es lo suficientemente fina. Necesita más términos de la expansión de la serie:

$$ \begin{align*} \color{blue}{\sqrt{x^2 + 5x + 3}} &= -x \sqrt{1 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2}} \\ &\sim -x \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \\ &= \color{red}{-x} - \frac{5}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right) \end{align*} $$

A continuación, se puede concluir que el límite requerido es $-5/2$.

Por analogía, una aproximación como $\color{blue}{x + 1} \sim \color{red}{x}$ está perfectamente bien para el cálculo de la relación de límite de $\lim_{x \to -\infty} (\color{blue}{x + 1}) / (\color{red}{x})$. Pero si usted está calculando la diferencia límite, entonces usted no puede descartar la $1$ en $\color{blue}{x + 1}$.

Answer 5

Para evitar la confusión con el signo, en estos casos, le sugiero que tome $y=-x\to \infty$ luego

$$\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+5x+3}+x =\lim_{y\to \infty}\sqrt{y^2-5y+3}-y $$

desde aquí podemos ver claramente que la expresión es una forma indeterminada $\infty-\infty$ entonces podemos proceder por

$$\sqrt{y^2-5y+3}-y=\left(\sqrt{y^2-5y+3}-y\right)\cdot \frac{\sqrt{y^2-5y+3}+y}{\sqrt{y^2-5y+3}+y}$$

Tenga en cuenta que su primera cancelación no es correcto, ya que se han considerado $\sqrt{x^2+5x+3}=-x$ lo cual no es cierto, mientras que en el segundo caso hemos cancelado $x^2-x^2$ que es un paso correcto.