problema del mono infinito - probabilidad de que una secuencia infinita contenga una secuencia infinita

Question

Nota: Esta pregunta se refiere específicamente a cuando el teorema del mono infinito se extiende a la reproducción de una secuencia infinita (a diferencia de una finita)

Estaba navegando por la wikipedia, y me encontré con el problema del mono infinito. Entiendo que si se seleccionan claves aleatorias durante un periodo de tiempo infinito, al final se producirá cualquier combinación finita de caracteres. Por ejemplo, una copia completa de Hamlet. Sin embargo, estoy confundido sobre lo que sucede cuando esto se extiende al infinito. Según la wikipedia:

Si la longitud de texto asignada al mono es infinita, la posibilidad de escribir sólo los dígitos de pi es $0$ lo que es tan posible como escribir nada más que Gs (también probabilidad $0$ ).

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem#Almost_surely

Sin embargo, esto sugiere que la probabilidad de escribir cualquier combinación de caracteres (que son infinitamente largos) también es $0$ . Sin embargo, la probabilidad de que a combinación se teclea es 1. Sin embargo la suma de todos los eventos posibles parece ser $0$ no $1$ (ya que la probabilidad de que se escriba cualquier combinación de longitud infinita como pi es $0$ como $0+0+0+0+...+0=0$

No estoy seguro de si he entendido mal este problema o si he hecho una suposición falsa. Puede que tenga algo que ver con el concepto de "Casi seguro", pero me intimidó un poco el artículo de la wikipedia.

Answer 1

He aquí un ejemplo similar: dejemos que $x$ sea un número elegido uniformemente entre $[0,1]$ . Para cada $y \in [0,1]$ la probabilidad de que $x = y$ es $0$ y sin embargo $x$ ¡debe ser igual a algo! Lo que falla aquí es que hay incontables números en $[0,1]$ mientras que la medida uniforme sobre $[0,1]$ sólo es contablemente aditivo. Las medidas con propiedades de aditividad más fuertes se estudian en la teoría de la medida (en las partes de la teoría de conjuntos), pero las medidas habituales que se estudian en la teoría de la probabilidad sólo son contablemente aditivas (o, como se conoce más comúnmente, $\sigma$ -aditivo ).

Answer 2

La probabilidad de teclear, por ejemplo, los dígitos de pi, es $0$ . Pero, hay un incontablemente número infinito de cadenas de caracteres que el mono podría teclear, por lo que la probabilidad total de todos los eventos sigue siendo igual a $1$ . Es un poco como decir que si pudieras lanzar un dardo a la línea de los números reales, no habría ninguna posibilidad de que dieras con un número concreto. Los números reales son incontables e infinitos.

Answer 3

Es una de esas complicaciones que surgen cuando tratas con el infinito.

Esto es lo que pienso. Si quieres que los monos escriban Hamlet, puedes calcular que Hamlet sólo tiene una longitud finita y puedes calcular la probabilidad de escribirlo al azar. Como los monos escriben una cadena de texto infinita, puedes dividirla en infinitos trozos de Hamlet y pensar que uno de ellos será Hamlet.

El problema de pedirles que escriban una cadena infinita es que esto ya no funciona. Una vez que se quita un trozo infinito de la salida de los monos, sólo queda un número finito de caracteres. Así que el argumento que funcionó para Hamlet no funciona para una cadena infinita.

La probabilidad de que cualquier cadena infinita sea elegida es cero. Lo que esto significa es que si se repitiera el experimento (contablemente) infinitas veces, seguiría sin esperarse que saliera esa cuerda, ya que el número de cuerdas posibles es de un orden superior al infinito. Esto también significa que la suma de todas las probabilidades ya no funciona de la misma manera cuando se tiene un número incontable de eventos para elegir.