Serie de términos no negativos: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|^n}{n}$

Question

Dada la siguiente serie:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\cos n|^n}{n}$$

(siendo una serie con términos no negativos), ¿convergen o divergen?

Por desgracia, no puedo demostrar en cualquier modo o la convergencia o la divergencia de esta serie. ¿Alguna idea?

Answer 1

La serie' la convergencia es famosa por ser desconocido. Específicamente, consulte este Mathoverflow post sobre la serie similar con $\sin n$ en lugar de $\cos n$:

Para un ejemplo interesante, tome $\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n)|^n}{n}$. Decidir si es o no converge parece requerir más conocimientos de los que está actualmente disponible acerca de las aproximaciones racionales de $\pi$. La serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n t \pi)|^n}{n}$ converge para casi todos los real $t$ (en el sentido de Lebesgue medida), pero se aparta de $t$ en un denso $G_\delta$ subconjunto de $\mathbb R$.

Decidir si $\sum_{n=1}^\infty \frac{|\cos(n)|^n}{n}$ converge, que se ejecutará en todos los mismos problemas que con $\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n)|^n}{n}$.