n-simplex en una intersección de n bolas

Question

Considere la posibilidad de una $n$-simplex, $n \geq 2$ con vértices $x_i,i=1,...,n+1$. Para cada arista $(i,j)$, considere la posibilidad de $n$-ball $B_{ij}$ tal que los vértices $x_i$ $x_j$ son antipodal en esta pelota. Fijar un punto de $x_0$ en el simplex. La pregunta: es $x_0$ al menos $n$ pelotas?

Algunas notas. Es imposible hacer la pregunta más fuerte afirmando que no hay vértice $i=i(x_0)$ tal que $x_0$ es en todas las pelotas $B_{ij},j \neq i$. Además, no es cierto para $n+1$ bolas (hay contraejemplos para ambos casos si $n=3$).

También, $x_0$ está en la bola de $B_{ij}$ si y sólo si $\angle x_ix_0x_j \geq \pi/2$, o lo que es equivalente, los vértices $x_i$ $x_j$ están en lados opuestos de la hyperplane $H_i$ que contiene $x_0$ y es ortogonal a la línea a través de $x_i$ $x_0$ (y lo mismo para $H_j$).

También, esta cuestión es una versión más fuerte del que pregunta (Gracias a Alex Ravsky para resolverlo).

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Voy a utilizar la notación $\mathbf{v}_i$ para el vector de$x_0$$x_i$.

Suponga que $x_0$ está en el interior de la cara. (Por la continuidad, la declaración se extenderá a los puntos de límite.) Entonces hay algunos positivos pesos $w_1,\ldots,w_{n+1}>0$ tal que $\sum\limits_{i=1}^{n+1} w_i \mathbf{v}_i=\textbf0$.

Vamos a construir un gráfico en el que los vértices $1,\ldots,n+1$. Deje que los vértices $i$ $j$ estar conectado si $x_0$ está dentro de la bola con un diámetro $x_ix_j$; en otras palabras, si $\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_j\le0$.

Nos muestran que este gráfico está conectado. Asumir el contrario; luego, los vértices se pueden dividir en dos disjuntos no vacíos conjuntos, decir $A$ $B$ tal que $A\cup B=\{1,2,\ldots,n+1\}$. Ya que no hay límite entre los dos conjuntos de vértices, tenemos $\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_j>0$ todos los $i\in A$$j\in B$.

Considere la posibilidad de $$ 0 = \left(\sum_{i\in A\cup B} w_i \mathbf{v}_i \right)^2 = \left(\sum_{i\in A} w_i \mathbf{v}_i \right)^2 + \left(\sum_{i\in B} w_i \mathbf{v}_i \right)^2 + 2\sum_{i\in A}\sum_{i\in B} w_iw_j(\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_j). $$ En los últimos suma de todos los términos son positivos, la contradicción. Ahora hemos demostrado que la gráfica está conectado.

Un grafo conexo en $n+1$ vértices tiene al menos $n$ bordes, por lo que, al menos, $n$ bolas de contener $x_0$. Hecho.

Answer 2

Esto no contesta la pregunta. Yo no prueban nada aquí, pero acaba de presentar los resultados de algunas simulaciones que sugieren que la respuesta a la pregunta es sí.

Mi experiencia me hace ser cuidadoso acerca de mi intuición, cuando se trata de pensar acerca de la construcción geométrica en más de $3$ dimensiones. Así que antes de investigar más esta pregunta quería comprobar si no hay ningún ejemplo contrario podría conseguir con Mathematica. Me genera algún azar simplices con un punto al azar en el interior y se contó el número de bolas que cubre el interior de punto. Para todas las pruebas que hice, no contraejemplo apareció. Por otra parte, la distribución del número de pelotas en mi simulaciones parecen estar cerca de una distribución normal.

Por ejemplo, generó $1000$ random $3$-dimensiones simplices como el casco convexo de $4$ puntos aleatorios distribuidos uniformemente en el cubo unitario. Para cada simplex generó $1000$ al azar dentro de los puntos con baricenter coordinar distribuidos de manera uniforme. Por debajo de este es el histograma del número de bolas que cubre el interior de los puntos considerados. Observamos que se inicia a las $3$, lo que significa que no encontramos contraejemplo a la conjetura.

dimensión$=3$; número de aristas$={4 \choose 2}=6$.

A continuación doy más histogramas obtenidos a partir de simulaciones en la dimensión superior. Para cada generó $100$ random simplices y probados $100$ al azar dentro de los puntos.

dimensión$=4$; número de aristas$={5 \choose 2}=10$.

dimensión$=5$; número de aristas$={6 \choose 2}=15$.

dimensión$=6$; número de aristas$={7 \choose 2}=21$.

dimensión$=7$; número de aristas$={8 \choose 2}=28$.

dimensión$=8$; número de aristas$={9 \choose 2}=36$.

dimensión$=20$; número de aristas$={20 \choose 2}=190$.

El código que he usado con Mathematica (que sin duda puede ser optimizado si quieres ejecutar biger simulaciones)

> RandomSimplex[dim_] := RandomReal[{0, 1}, {dim, dim + 1}]
> RandomBaricenter[dimension_] := Module[{baricenter},
>     baricenter =  RandomReal[{0, 1}, dimension + 1];
>     baricenter =  baricenter/Sum[baricenter[[i]], {i, 1, dimension + 1}];(*normalisation*)
>     Return[baricenter]]
> Distance[A_, B_] := Module[{dim},
>     dim = Dimensions[A][[1]];
>     Return[Sqrt[Sum[(B[[i]] - A[[i]])^2, {i, 1, dim}]]];]
> NumberClosePoints[simplex_, point_] :=   Module[{dim, number, i, j, M, A, B},
>     dim = Dimensions[simplex][[1]];
>     number = 0;
>     For[i = 1, i <= dim, i++,
>         For[j = i + 1, j <= dim + 1, j++,
>         A = Transpose[simplex][[i]];
>         B = Transpose[simplex][[j]];
>         M = (A + B)/2;
>         If[Distance[M, A] > Distance[M, point], number++,]]];
>     Return[number]]

y para ejecutar las pruebas y producir e histograma:

> dimension = 3;
> nBar = 1000;(*number of barycenter tested*)
> nSimplices = 1000;(*number of simplices tested*)
> list = {};
> For[i = 1, i <= nBar, i++,
>   bar = RandomBaricenter[dimension];
>   For[j = 1, j <= nSimplices, j++,
>     simplex = RandomSimplex[dimension];
>     point = simplex.bar;
>     n = NumberClosePoints[simplex, point];
>     list = Append[list, n];
>     If[n < dimension, Print[{bar, simplex, n}],]];]
> Histogram[list]