Se sabe que Hardy demostró que hay infinitos ceros de $\zeta(s)$ en la línea Re $(s)=\frac{1}{2}$ ¿pero demostró que es contablemente infinito? ¿O incontable?
Una propiedad interesante de las funciones meromorfas es que tienen ceros aislados. Construye una bola de radio $\delta$ alrededor de cada cero de forma que no haya dos ceros de $\zeta$ pertenecen a la misma bola. El conjunto de todos estos vecindarios debe tener un número contable de componentes conectados, ya que cada vecindario abierto contiene $x+iy$ con $x$ y $y$ racional; por lo tanto, cada componente tiene un representante racional, y hay contablemente muchos números complejos racionales.
Por el teorema de la identidad y el hecho de que los subconjuntos incontables de $\mathbb{R}^n$ debe tener al menos un punto límite, cualquier función holomorfa que tenga incontables ceros debe desaparecer idénticamente en su dominio. $\zeta$ es holomorfa en una región que excluye el origen, por lo que no debe tener un número incontable de ceros.
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El teorema de factorización de Weierstrass nos dice que una función meromórfica tiene como máximo un número contable de ceros/polos en el plano complejo, mientras que el teorema de Riemann $\Xi(s^{1/2})$ es entera y de orden $1/2$ por lo que tiene infinidad de ceros