Integral de superficie (Flujo)

Question

Evaluar la integral de superficie $ \int_{S}\int \vec{F} \cdot \vec{n}\, dS,$ con el campo vectorial $ \vec{F} = zx\vec{i} + xy\vec{j} + yz\vec{k} \ $ . $S$ es la superficie cerrada compuesta por una parte del cilindro $ x^2 + y^2 = R^2 $ que se encuentra en el primer octante, y porciones de los planos $ x=0, y =0, z = 0\,\,\text{and}\,\, z = H $ . $\vec{n}$ es el vector normal unitario hacia afuera.

Intento: Dije $S$ consistía en las cinco superficies $ S_1, S_2, S_3, S_4 $ y $ S_5$ $S_1 $ siendo la porción del cilindro, $S_2$ siendo donde el avión $ z=0$ corta el cilindro y de forma similar, $ S_3, S_4 ,S_5 $ siendo donde los aviones $ x = 0, y = 0 $ y $z = H $ cortar el cilindro.

Para $ S_2 $ el vector normal apunta en la dirección -k. por lo que la integral requerida sobre $S_2$ es: $$ \int_{0}^{R} \int_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}} -yz\,dy\,dx $$ ¿Estoy en lo cierto? Creo que para la superficie $ S_5$ lo único que cambiaría en lo anterior sería que el vector normal unitario apunta en la dirección k positiva?

Necesito que me orienten sobre cómo establecer las integrales para el resto de las superficies. He intentado $ \int_{0}^{R} \int_{0}^{H} -xy\,dz\,dx $ para la intersección del plano y = 0 con el cilindro, pero no estoy seguro de que esto sea correcto.

Cualquier consejo sobre cómo abordar las superficies restantes sería muy útil. Muchas gracias.

Answer 1

Utiliza el Teorema de la Divergencia.

$\text{div}(F) = x + y + z$

La integral de volumen es $$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{H} (r\cos\theta + r\sin\theta + z)r dz dr d\theta$$

Le dejo la integración a usted

Al final deberías obtener $$\frac{1}{2}\pi HR^2$$

Answer 2

En el $x=0$ cara $S_3$ uno tiene $n=(-1,0,0)$ y $F\cdot n=0$ .

En el $y=0$ cara $S_4$ uno tiene $n=(0,-1,0)$ y $F\cdot n=0$ .

En el $z=0$ cara $S_2$ uno tiene $n=(0,0,-1)$ y $F\cdot n=0$ .

Se deduce que las integrales sobre estas caras son cero.

En el $z=H$ cara $S_5$ uno tiene $n=(0,0,1)$ y $F\cdot n=Hy$ . Utilizando coordenadas polares en el $(x,y)$ -plano da $y=r\sin\phi$ , $\ {\rm d}\omega={\rm d}(x,y)=r{\rm d}(r,\phi)$ y por lo tanto $$\int\nolimits_{S_5}F\cdot n\ {\rm d}\omega=\int_0^R\int_0^{\pi/2} H r^2 \sin\phi \ d\phi\ dr=\ldots\quad.$$

En el $x^2+y^2=R^2$ cara $S_1$ uno tiene $$x=R\cos\phi,\quad y=R\sin\phi,\quad z=z,\quad n=(\cos\phi,\sin\phi,0)$$ y por lo tanto $$F\cdot n=Rz\cos^2\phi+R^2\cos\phi\sin^2\phi\ .$$ Además ${\rm d}\omega=R\ {\rm d}(z,\phi)$ . De ello se desprende que $$\int\nolimits_{S_1}F\cdot n\ {\rm d}\omega=R\ \int_0^H\int_0^{\pi/2}(Rz\cos^2\phi+R^2\cos\phi\sin^2\phi)\ d\phi\ dz=\ldots\quad.$$