¿Cuántas cuerdas de longitud $8$ tienen exactamente dos $1$ -bita entre los primeros $4$ bits o exactamente dos $1$ -bita entre los últimos $4$ ¿pedacitos?
Mi solución:
Un poco sólo contiene $0$ y $1$ así que $2$ diferentes números, es decir, $0$ y $1$ . Para la primera parte tenemos $2^6=64$ maneras. Similar para la otra forma. Por lo tanto, existe $2^4=16$ y mordió las cuerdas. ¿Es mi respuesta verdadera?
Actualización: Quiero decir $2^6+2^6-2^4=112$ de cuerdas de mordida
He perdido tu lógica. Por simetría, la cantidad de cadenas con exactamente 2 unos en los primeros cuatro (llame a este grupo $F$ ) es idéntico a los que tienen exactamente 2 unos en los últimos cuatro (llame a este grupo $L$ ).
Entonces su cantidad deseada es $|F| + |L| - |F \cap L|$ .
Para calcular $F$ , tenga en cuenta que tiene exactamente $\binom{4}{2} = 6$ formas de elegir la ubicación de los unos en los cuatro primeros, lo que fija que sus selecciones sean unos y los otros dos de los cuatro primeros sean ceros. En otras palabras, esto fija los primeros cuatro bits, y el resto puede ser manipulado en $2^4=16$ formas.
¿Puedes terminar de computar? $|F|$ ? Ya hemos dicho $|L|=|F|$ y puede calcular $|F \cap L|$ por una técnica similar?
Dejemos que $A$ sea el conjunto de cadenas de bits con exactamente dos $1$ -bit entre los primeros $4$ bits, y $B$ sea el conjunto de cadenas de bits con exactamente dos $1$ -bit entre los últimos $4$ bits.
\begin {align} \#A &= \binom {4}{2} 2^4 = 6 \cdot2 ^4 \\ \#B &= 2^4 \binom {4}{2} = 6 \cdot2 ^4 \\ \#A \cap B &= \binom {4}{2}^2 = 6^2 \\ \#A \cup B &= \#A + \#B - \# A \cap B \\ &= 6 (2^4 \cdot 2 - 6) \\ &= 6 \cdot 26 = 156 \end {align}
Entre los primeros $4$ bits, elija $2$ para ponerlos en uno y los otros dos se pondrían en $0$ y hay $4$ de ellos con absoluta libertad.
$$\binom{4}{2}\cdot 2^4$$
De forma similar, cuando nos centramos en el último $4$ bits.
Cuando nos centramos en la intersección. Escogeríamos $2$ de la primera $4$ y elegir $2$ de la última $4$ .
Así que mi respuesta general sería
$$2\binom42 \cdot 2^4 - \binom42^2$$
Observación: Creo que su error es pensar que se puede establecer arbitrariamente $6$ bits a cualquier cosa.
¿Cuántas cadenas de bits de longitud 8 tienen exactamente dos de 1 bit entre los primeros 4 bits o exactamente dos de 1 bit entre los últimos 4 bits?
La solución más sencilla es la mejor. Sólo hay 256 posibilidades que comprobar, así que ¡sólo hay que enumerarlas!
00000011 00000101 00000110 00001001 00001010 00001100 00010011 00010101
00010110 00011001 00011010 00011100 00100011 00100101 00100110 00101001
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01011000 01011001 01011010 01011011 01011100 01011101 01011110 01011111
01100000 01100001 01100010 01100011 01100100 01100101 01100110 01100111
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10011100 10011101 10011110 10011111 10100000 10100001 10100010 10100011
10100100 10100101 10100110 10100111 10101000 10101001 10101010 10101011
10101100 10101101 10101110 10101111 10110011 10110101 10110110 10111001
10111010 10111100 11000000 11000001 11000010 11000011 11000100 11000101
11000110 11000111 11001000 11001001 11001010 11001011 11001100 11001101
11001110 11001111 11010011 11010101 11010110 11011001 11011010 11011100
11100011 11100101 11100110 11101001 11101010 11101100 11110011 11110101
11110110 11111001 11111010 11111100 Hay 156 cadenas de este tipo.
¿Sigues creyendo que sólo hay 112? Si es así, ¿cuáles he enumerado dos veces o por error?
Como programador (y matemático relativamente ingenuo) pensé inmediatamente en reducir la cadena de 8 bits a una cadena hexadecimal. Dos dígitos, cada uno de ellos compuesto por cuatro bits exactamente como se divide el problema.
Y, de 16 dígitos (0-F), 6 de ellos son dígitos válidos (exactamente 2 1-bits).
Así, tenemos 16×6 números válidos (el primer dígito puede ser cualquiera) y de los 16×10 números restantes, 6×10 de ellos también serán válidos.
Ahora tenemos 16×6 + 6×10 = 156
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