Ideal máximo en el anillo de funciones continuas de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Question

Bueno, el problema que estoy tratando de resolver es el siguiente:

Dejemos que $A$ sea el anillo de todas las funciones continuas de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Demostrar que $M = \{f \in A: f(0)=0\}$ es un ideal máximo de $A$ .

Intenté demostrar que si $J$ es un ideal de A que contiene adecuadamente a M, por lo que $J = A$ sabemos que existe una función $g \in J$ con $g(0) \neq 0$ . Por lo tanto, tenemos que $$J \supseteq \langle g, M\rangle=\{ag+f;a \in A, f\in M\}$$

Intenté demostrar que 1 $\in$ $\langle g,M\rangle$ . Sin embargo, tendría que encontrar alguna función $h(x)\in A$ tal que $h(x)(ag+f) = 1$ pero esta función $h$ tiene que ser diferente de 0 para todo x $\in \mathbb{R}$ Así que no sé cómo encontrar esta función.

Mi segunda idea para resolver este problema fue demostrar que el cuociente $A/M$ es un campo. Tenemos que $$A/M = \{h(x) + M; h(x) \in A\},$$ pero de nuevo tengo el problema de demostrar que todos los elementos de $A/M$ son unidades.

Si alguien pudiera ayudar, se lo agradecería mucho (:

Answer 1

Considere $\varepsilon: A \to \mathbb R$ dado por $\varepsilon (f)=f(0)$ . Se trata de un homomorfismo sobreyectivo con núcleo $M$ . Como la imagen es un campo, el núcleo es un ideal maximal.

Answer 2

Su resumen de lo que tiene que demostrar es incorrecto: no se le da $a$ , $g$ y $f$ y necesitan encontrar $h$ tal que

$$ h (ag + f) = 1$$

En cambio, el problema que debes resolver es que te den $g$ y necesitan encontrar $h$ , $f$ y $a$ tal que

$$ h (ag + f) = 1 \qquad \qquad f(0) = 0$$

Como ya ha observado la resolución de $h$ es problemática, puedes facilitarte la vida eligiendo $h$ para ser algo simple y luego tratar de resolver para $a$ y $f$ .

Pero incluso esto es hacer las cosas más difíciles de lo necesario. Has pedido que se demuestre que $1 \in \langle M,g \rangle$ y lo sabes todo en $\langle M,g \rangle$ es de la forma $ag + f$ con $f(0)=0$ . Así que el problema que en realidad necesidad de resolver es, dado $g$ para encontrar $a,f$ tal que

$$ ag+f = 1 \qquad \qquad f(0)=0$$

Answer 3

Dejemos que $R$ sea el anillo de todas las funciones continuas de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Dejemos que $B=\{f \in R~|~f(0)=0\}$ .

Ahora, sabemos que si $R$ es un anillo conmutativo con la unidad y $I$ es un ideal, entonces, $R/I$ es un campo si y sólo si $I$ es máxima.

Si demostramos que $R/B$ es un campo, entonces $B$ es máxima. Para lo cual, debemos demostrar que todo elemento del coset no nulo $\{g(x) + B~|~g(x) \in R ,~~ g(x) \notin B \implies g(0) \neq 0\}$ tiene un inverso.

Tenga en cuenta que $g(x)+B = g(0) + B$ como $g(x)-g(0) \in B$

y $(g(0)+B)~( (g(0))^{-1}+ B) = 1+B$

Por lo tanto, cada elemento tiene un inverso..