Demostrar la convergencia uniforme de $\sin(\frac{x}{n}) e^{-x^2}$

Question

¿Cómo se puede demostrar que $\left(\sin(\frac{x}{n})e^{-x^2}\right)_n$ ¿converge uniformemente? Intenté encontrar el supremum fijando la primera derivada en $0$ pero eso da una ecuación difícil de resolver. Por lo tanto, debe haber un límite más flojo, pero no lo veo. Gracias.

Answer 1

Observe que $xe^{-x^2}$ está uniformemente acotado, digamos por alguna constante $M$ . Entonces $$\biggr|\sin\left(\frac{x}{n}\right)e^{-x^2}\biggr|\leq \biggr|\frac{x}{n}e^{-x^2}\biggr|\leq \frac{M}{n}.$$

Como $\frac{1}{n}$ converge y esto ya no depende de $x$ tenemos una convergencia uniforme.