¿Qué cantidad es mayor?

Question

$x \gt y$, $ xy \neq 0$

A= $ x^2\over {y+{1\over y}}$

B= $ y^2\over {x+{1\over x}}$

Opciones:

1) Cantidad es mayor.

2) Cantidad B es mayor.

3) Las dos cantidades son iguales.

4) La relación no puede ser determinado a partir de la información dada.

Tomando $x=2, y=1 $, I se $A\gt B$ , con Lo que las opciones 2 y 3 son eliminados.

Tomando$ x=2, y=-1$ , I se $B\gt A$ , con Lo que la opción 1 es eliminado.

Así que la respuesta es la opción 4.

Pero no estoy satisfecho con esta solución por tomar determinados valores de x y de y.

¿Hay algún otro método para lidiar con esta pregunta?

Cuál debe ser la correcta etiqueta para esto? Creo que debería ser la comparación, pero que no está disponible en la lista de etiquetas.Así que por favor edita.

Answer 1

Supongamos calcular la diferencia de $A-B$ y ver si siempre es de un signo. $$\begin{align}A - B &=\frac{x^2}{y+1/y} - \frac{y^2}{x+1/x}\ &=\frac{yx^2}{y^2+1} - \frac{xy^2}{x^2+1}\ &=\frac{xy\left(x(x^2+1)-y(y^2+1)\right)}{(x^2+1)(y^2+1)}\ &=\frac{xy(x-y)(x^2+xy+y^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)}\ &=\frac{xy(x-y)\left((x+y/2)^2+3y^2/4+1\right)}{(x^2+1)(y^2+1)}\end {Alinee el} $$

Cada término en la última expresión es positivo pero el término $xy.$ por lo tanto $$A > B \text{ if and only if } xy > 0.$ $

Answer 2

Si D verdad es la respuesta verdadera, entonces proveer contraejemplos a todo otro reclamo es la única manera de probarlo. Y no hay ninguna vergüenza en hacerlo de esa manera.

Answer 3

Un buen enfoque es el siguiente: nota primera de todas las que $x + 1/x$ es positivo si $x$ es positivo y negativo si $x$ es negativo. Ahora, si $x$ $y$ tienen el mismo signo, entonces $$ A > B \ffi\\ \frac{x^2}{y+1/y} > \frac{y^2}{x+1/x} \ffi \\ x^2(x + 1/x) > y^2(y + 1/y) \ffi \\ x^3 + x > y^3 + y $$ Nota, sin embargo, que el $f(x) = x^3 + x$ es una función creciente. Por eso, $x^3 + x > y^3 + y \iff x > y$. Por eso, $A > B \iff x > y$

Por otro lado, si $x$ $y$ tienen signos opuestos, entonces $$ A > B \ffi\\ \frac{x^2}{y+1/y} > \frac{y^2}{x+1/x} \ffi \\ x^2(x + 1/x) < y^2(y + 1/y) \ffi \\ x^3 + x < y^3 + y \ffi\\ x < y $$ Así, basta con tomar cualquiera de los valores positivos,$x<y$, entonces los valores de $-x,y$.

Answer 4

Informal, creo que debe ser capaz de ver que $x$ y $y$ ambos a aumentar hacia el infinito positivo, es más grande. $x$ $y$ Ambos enfoque infinito negativo, A es más pequeño.

Usted puede mostrar esta dejando $(x, y)>0$ y $x = ay$ $a > 1$. Entonces el contrario para el lado negativo