¿Por qué la diferencia entre estas dos series infinitas es igual a$\frac12$?

Question

El seguimiento de este MO pregunta:

Tomar $s \in \mathbb{C}$, $\Re s \gt 1$, y las dos series infinitas:

$$Z_1(s) = \sum _{n=1}^{\infty } (-1)^n \left( \frac12 + n \right) \left( {\frac {1}{n^{s}}}-\frac {1}{(n+1)^{s}} \right)$$

y:

$$Z_2(s) = \sum _{n=1}^{\infty } (-1)^n \left( {\frac {1}{n^{s}}}-\frac {1}{(n+1)^{s}} \right)$$

Al volver a escribir la serie en Dirichlet $\eta(s)$'s:

\begin{align*} Z_1(s) &= -2 \eta(s-1) + \frac12 \\ Z_2(s) &= -2 \eta(s) + 1 \end{align*} de ello se sigue que:

$$Z_2(s-1)=Z_1(s) + \frac12$$

La no-trivial de los ceros de $\zeta(s)$ $+ \frac12$, ahora todos mienten (suponiendo RH) en la línea de $\Re(s)= \frac32$.

Tal vez esto es algo trivial, pero la simplicidad de la relación entre el $Z_2$ $Z_1$ me sorprendió. Me preguntaba si el plazo $+\frac12$ también pueden ser derivadas sin el uso de la conversión en $\eta(s)$ (por ejemplo, "de abajo hacia arriba" de las condiciones individuales de las sumas)?

Gracias.

Answer 1

Deje $(*)=2Z_2(s-1)-2Z_1(s)$, luego $$(*)=\sum_{n\geqslant1}(-1)^n\left(\frac{\color{red}{2n}}{n^s}-\frac{\color{red}{2n}+2}{(n+1)^s}-(\color{red}{2n}+1)\left(\frac1{n^s}-\frac1{(n+1)^s}\right)\right). $$ Los términos con $\color{red}{2n}$ en el numerador se cancelan uno al otro por lo tanto uno se queda con $$ (*)=\sum_{n\geqslant1}(-1)^n\left(-\frac{2}{(n+1)^s}-\frac1{n^s}+\frac1{(n+1)^s}\right)=\sum_{n\geqslant1}(-1)^n\left(-\frac1{(n+1)^s}-\frac1{n^s}\right).$$ Deje $a_n=(-1)^n/n^s$. Desde $a_n\to0$ al $n\to\infty$, $$ (*)=\sum_{n\geqslant1}(a_{n+1}-a_n)=-a_1=+1. $$