$$\begin{align*}\sqrt{7x+y}+\sqrt{x+y}=6\\\sqrt{x+y}-y+x=2\end{align*}$ $ He intentado varias cosas en forma cuadrada, sumando pero nada realmente ayudó, obtuve algunos resultados intermedios extraños que probablemente son inútiles, como:$$(y-x)(y+x+4)+4-x-y=0$ $ o$$x_{1,2}=\frac{2y-3\pm\sqrt{8y-7}}{2}$ $. consejos?
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Sugerencia: si escribe el segundo como$\sqrt{x+y}=2+y-x$, puede sustituirlo por el primero. Ahora solo tienes un radical en cada ecuación. Si aísla el radical, puede cuadrar para deshacerse de él, lo que dará dos ecuaciones cuadráticas. Asegúrese de verificar sus soluciones para asegurarse de que no sean extrañas, introducidas por cuadratura. También puede introducir$z=x+y, w=y-x$, lo que simplifica un poco el álgebra.
Dan Walker
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3466
Esta es la forma en que yo podría resolver el sistema dado en mis días de escuela. Es muy similar a la de la pista proporcionada por Ross de Millikan. Resulta que una de las ecuaciones se convierte en lineal. Omito algunos pasos intermedios. El sistema
$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{7x+y}+\sqrt{x+y}=6 \\ \sqrt{x+y}-y+x=2 \end{array} \right. \etiqueta{1}$$
es equivalente a
$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{7x+y}=4+x-y \\ \sqrt{x+y}=2-x+y. \end{array} \right. $$
Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos
$$\left\{ \begin{array}{c} 7x+y=\left( 4+x-y\right) ^{2} \\ x+y=\left( 2-x+y\right) ^{2} \end{array} \right. \etiqueta{2}$$
o
$$\left\{ \begin{array}{c} y=\left( 4+x-y\right) ^{2}-7x \\ \left( 4+x-y\right) ^{2}-7x=\left( 2-x+y\right) ^{2}-x, \end{array} \right. $$
que es equivalente a
$$\left\{ \begin{array}{c} y=\left( 4+x-y\right) ^{2}-7x \\ -12y+6x+12=0 \end{array} \right. $$
y a
$$\left\{ \begin{array}{c} 1+\frac{1}{2}x=9-4x+\frac{1}{4}x^{2} \\ y=1+\frac{1}{2}x. \end{array} \right. \etiqueta{3}$$
Este sistema tiene dos pares de soluciones de $\left( x,y\right) =(2,2)$ e $ \left( x,y\right) =(16,9)$, but only $\a la izquierda( x,y\right) =(2,2)$ es un solución de $(1)$.
Oli
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89
Cuando vemos una raíz cuadrada, es difícil resistir el impulso a la plaza. Pero se resisten a nosotros, y esa decisión es a menudo útil.
El tipo de solución que estamos buscando no está especificado, pero las expresiones $\sqrt{7x+y}$ $\sqrt{x+y}$ sugieren que estamos buscando reales soluciones. Vamos $$7x+y=p^2 \qquad\text{and}\qquad x+y=q^2,$$ donde podemos asumir que $p$ $q$ son no-negativos.
Tenga en cuenta que $(7x+y)-4(x+y)=3x-3y$, lo $3(x-y)=p^2-4q^2$. Así que nuestras ecuaciones puede escribirse como $$p+q=6\qquad \text{and}\qquad q+\frac{1}{3}(p^2-4q^2)=2.$$ Ahora, en principio, es todo! (Sustituto $6-q$ $p$ en la segunda ecuación. Obtenemos una ecuación cuadrática en la variable $q$.)
Para la diversión que continuar en otra forma. Observe que la segunda ecuación puede ser escrita como $p^2-4q^2+3q=6$. Es que un $6$ a la derecha? Sí, por lo que tenemos $p^2-4q^2+3q=p+q$, y por lo tanto $$p^2-4q^2=p-2q.$$ Desde $p^2-4q^2=(p-2q)(p+2q)$, llegamos a la conclusión de que (a) $p-2q=0$ o (b) $p+2q=1$.
Caso (a): Tenemos $p+q=6$$p=2q$, por lo que $p=4$, $q=2$. Que da $7x+y=16$, $x+y=4$, por lo $x=y=2$. Esto funciona.
Caso (b): Tenemos $p+q=6$$p+2q=1$, y por lo tanto $p=11$, $q=-5$. Esto contradice el hecho de que $q$ es no negativo.
Comentario: quizás vale la pena mirar en el Caso (b) más de cerca. Tenemos $7x+y=121$, $x+y=25$, que los rendimientos de $x=16$, $y=9$. Si interpretamos $\sqrt{121}$ como $11$, e $\sqrt{25}$ como $-5$, luego $x=16$, $y=9$ es una solución. Pero que es bastante peculiar interpretación de $\sqrt{25}$ si estamos trabajando en los reales.
Sin embargo, las manipulaciones que hicimos se aplican igualmente bien a los números complejos. Por lo que hemos encontrado todas las soluciones complejas. Pero si estamos trabajando en los números complejos, la interpretación de $\sqrt{121}$ $11$ $\sqrt{25}$ $-5$ no es un problema. Así tenemos el poco paradójico hecho de que si estamos trabajando en los reales, no es una solución real, mientras que si estamos trabajando en los números complejos, hay dos soluciones reales!
