¿Cómo demuestro que los monomorfismos canónicos de un coproducto en la categoría de espacios puntiformes son incrustaciones topológicas?

Question

Sea $\{(X_i,p_i)\}$ sea una familia de espacios puntiformes y $(\coprod X_i,j_i)$ sea un coproducto de $\{(X_i,p_i)\}$ en la categoría de espacios puntiformes.

He demostrado que los monomorfismos canónicos $j_i$ son efectivamente incrustaciones topológicas observando un coproducto especial, a saber, la suma en cuña de $\{(X_i,p_i)\}$ . Sin embargo, tengo curiosidad por saber si existe una forma puramente categórica (es decir, por propiedad universal) de demostrar que $j_i$ son incrustaciones topológicas.

Answer 1

Para simplificar la notación hablaré sólo de coproductos binarios, pero todo lo que diré sirve para coproductos arbitrarios. Supongamos que estamos en una categoría que tiene un mapa entre dos objetos cualesquiera (en particular, por ejemplo, esto es cierto en cualquier categoría con un objeto cero, y lo contrario es cierto si suponemos que la categoría tiene un objeto inicial y un objeto terminal). Si se tiene un coproducto $X\stackrel{i}\to Z\stackrel{j}\leftarrow Y$ entonces existe un mapa $p:Z\to X$ tal que $pi=1$ y $pj=f$ donde $f$ es cualquier mapa $X\to Y$ . De ello se deduce que la inclusión $i:X\to Z$ tiene una inversa a la izquierda, es decir, es un monomorfismo de división . Los monomorfismos de escisión son el tipo de "incrustación" más agradable que se puede tener en cualquier categoría. En particular, para los espacios topológicos, es fácil ver que cualquier monomorfismo de división debe ser una incrustación topológica. Más en general, las incrustaciones topológicas son exactamente las mononomorfismos regulares en la categoría de espacios topológicos, y es fácil ver que un monomorfismo de escisión es regular en cualquier categoría (es decir, con la notación anterior, es el igualador de $1:Z\to Z$ y $ip:Z\to Z$ ).