Para dos variables aleatorias no correlacionadas$X,Y$, ¿por qué$\rho(X+Y,2X+2Y)=4?$

Question

Dadas dos variables aleatorias no correlacionadas$X,Y$ con la misma varianza$\sigma^2 $, necesito calcular$\rho= \frac{COV(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ entre$X+Y$ y$2X+2Y$. Sé que debería ser un número entre$-1$ y$1$ y no entiendo por qué obtengo$4$.

Esto es lo que hice:

$COV(X+Y,2X+2Y)=COV(X+Y,2X)+COV(X+Y,2Y)=COV(2X,X)+COV(2X,Y)+COV(2Y,Y)+COV(2Y,X)=2COV(X,X)+2COV(Y,Y)+4COV(X,Y)=2\sigma^2+2\sigma^2=4\sigma^2$ por lo que el resultado final es$\rho=4$ desde$\sigma(X)=\sqrt{Var(x)}$.

¿Qué pasa con lo que hice?

Answer 1

La razón por la que las cosas salieron mal es probablemente debido a una desafortunada elección de notación, el uso de$X$ y$Y$ con dos significados diferentes.

Queremos el coeficiente de correlación$\rho(U,V)$, donde$U=X+Y$ y$V=2(X+Y)$. Así que necesitamos dividir$\text{Cov}(U,V)$ por el producto de las desviaciones estándar de$U$ y de$V$ ( no de$X$ y de$Y$).

Ustedes dividieron, pero por lo incorrecto. Para el denominador, calcule y use$\sigma_U\sigma_V$.

Answer 2

Muestre que, para cada variable aleatoria no degenerada$Z$ y número real distinto de cero $a$,$\mathrm{var}(aZ)=a^2\cdot\mathrm{var}(Z)$ y$\mathrm{cov}(Z,aZ)=a\cdot\mathrm{var}(Z)$. Deducir ese$\varrho(Z,aZ)=\mathrm{sgn}(a)$.