¿Existe una serie convergente, alternancia que falla el AST?

Question

La alternancia de la serie de prueba (AST) dice que, brevemente, que si

1. $a_k>0$
2. $a_k \geq a_{k+1}$, y
3. $a_k \to 0$ $k \to \infty$

a continuación, $\sum_k (-1)^k a_k$ converge.

Esta parece ser una forma de prueba (es decir, si una corriente alterna de la serie no pasa la prueba, no sabemos que diverge).

Este documento lo dice explícitamente. Luego se da un ejemplo de una corriente alterna de la serie que no la AST. Eso no prueba que la serie es divergente (pero resulta ser divergentes, de todos modos, por $n$th término de prueba).

Hay un convergentes, alternando series que falla el AST?

Por supuesto, si la serie falla la condición 3, entonces también falla el $n$th término de prueba, y la diferencia que debe existir. Y si falla la primera condición, entonces no es estrictamente alterna, de todos modos.

Por lo que debe ser una serie que no es cada vez más pequeño (condición 2), pero todavía converge.

Answer 1

Que $a_n = \begin{cases}2^{-n} & n \equiv 0\pmod{2} \ 3^{-n} & n \equiv 1\pmod{2} \end{cases}$. Entonces, $a_n$ es no estrictamente decreciente, desde $a_3 = \dfrac{1}{27}

Sin embargo $\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^na_n$ todavía converge a $\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{4}} - \dfrac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{9}} = \dfrac{23}{24}$.

Answer 2

Escoger cualquier serie $\sum (-1)^na_n$ que satisface el AST y elige cualquier secuencia $b_n$ que converge a $0$.

Definir

$$c_{n}=an+b{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$ $ que $$ c {2n} = R {2n} + bn \ c {2n +1} = R_ {2n +1} + b_n$ $

Entonces, es fácil demostrar que $\sum(-1)^n c_n$ siempre es convergente, pero es muy fácil de hacer ejemplos donde $c_n$ no es positivo o no disminuye. O dejar de ambas condiciones.

Answer 3

Aquí hay un ejemplo donde los términos por manten oscilando para siempre: es decir, $a_1>a_2$, $a_2<a_3>a4$ y así. Define todos $n\ge1$ $$a{2n-1}=\frac{5}{n^2}\ ,\quad a{2n}=\frac{1}{n^4}\ .$ $ comprobando lo que afirmé anteriormente, tenemos $ de $$a{2n-1}>\frac{1}{n^2}\ge\frac{1}{n^4}=a{2n}$ y $$a{2n}\le\frac{1}{n^2}=\frac{4}{n^2+2n^2+n^2}</a_3>

Answer 4

Otra construcción de hacer un montón de ejemplos, tomar cualquier serie converge absolutamente, decir $ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + \ldots$. Ahora reorganizar los términos para hacerlo como no monotónica como usted tiene gusto. Puesto que converge absolutamente, el cambio todavía se reunirán (a la misma suma). Ahora que la alternancia de suma cambiado.