Encontrar una matriz $A$ tal que $\operatorname{proj}_W(x) = Ax$ por cada $x \in \Bbb R^3$

Question

Dejemos que $W = \operatorname{Span}\{(1, -1, 0), (1, 1, 0)\}$ . Encuentre una matriz $A$ tal que $\operatorname{proj}_W(x) = Ax$ por cada $x \in \Bbb R^3$ .

No estoy seguro de cómo resolver esto.

Lo que he intentado hacer es utilizar y = $A(A^TA)^{-1}$ $A^T$ $\vec x$ donde A era la matriz

\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\\0&0\end{bmatrix}

Entonces, resolviendo, conseguí \begin{bmatrix}0&1&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}

¿Es esta la forma de abordar esta cuestión o estoy completamente equivocado? No lo entiendo del todo.

Answer 1

Sugerencia En este caso, $W$ también puede escribirse como el tramo de $(1, 0, 0)$ y $(0, 1, 0)$ Así que $W$ es sólo el $xy$ -plano y $\operatorname{proj}_W$ es sólo una proyección ortogonal a la misma.

Answer 2

Desde $x$ y $\text{proj}_W(x)$ son ambos en $\mathbb{R}^3$ El resultado debería ser un $3 \times 3$ matriz. Sin embargo, $(A^TA)^{-1}A^T$ es un $2 \times 3$ matriz. No estoy seguro de cómo usaste esa fórmula para obtener un $3 \times 3$ matriz.

En cualquier caso, la fórmula correcta para la matriz de proyección es $A(A^TA)^{-1}A^T$ que es casi lo que tú tenías. Si calculas esto, obtendrás la respuesta correcta.

Alternativamente, observe que $W = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^3 : x_3 = 0\}$ es decir $W$ es el conjunto de todos los $3 \times 1$ vectores cuya tercera coordenada es $0$ . Por lo tanto, para proyectar un vector $x$ en $W$ simplemente hay que cambiar su tercera coordenada por $0$ dejando las dos primeras coordenadas sin modificar. ¿Qué matriz hace eso?

---

EDIT: Si usted utilizó la fórmula $A(A^TA)^{-1}A^T$ entonces estás utilizando el método correcto, pero deberías comprobar tus cálculos de nuevo. He obtenido el siguiente resultado:

$A(A^TA)^{-1}A^T = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$

Answer 3

Si tiene un vector $w_1$ la proyección de cualquier $x$ en el tramo de $w_1$ viene dada por $$P_1(x)=\left\langle x, \frac{w_1}{\|w_1\|}\right\rangle \frac{w_1}{\|w_1\|},$$

que es un múltiplo escalar de $\frac{w_1}{\|w_1\|}$ el vector que tiene la misma dirección que $w_1$ , pero la longitud $1$ . (¿Por qué es $\left\langle x, \frac{w_1}{\|w_1\|}\right\rangle$ la longitud correcta asociada a la proyección de $x$ en el tramo de $w_1$ ?)

Si tiene varios vectores $w_1,w_2$ que son ortogonales entre sí (es decir $\langle w_1,w_2 \rangle=0$ entonces se puede escribir la proyección sobre el tramo de $w_1,w_2$ como $$A(x)=\left\langle x, \frac{w_1}{\|w_1\|}\right\rangle \frac{w_1}{\|w_1\|}+\left\langle x, \frac{w_2}{\|w_2\|}\right\rangle \frac{w_2}{\|w_2\|}.$$

Nota: Si $w_1, w_2$ no sería ortogonal, habría que asegurarse de no contar la parte que se encuentra en la dirección de $w_1$ y $w_2$ dos veces - se necesitaría encontrar una base ortogonal para $W$ primero, utilizando el algoritmo de Gram Schmidt primero.