Encuentre una función generadora para $\sum_{k=0}^{n} k^2$

Question

Encuentre una función generadora para $\sum_{k=0}^{n} k^2$

Sé que mi solución es errónea, pero ¿por qué?

Mi solución:
Si $F(x)$ genera $\sum_{k=0}^{n} k^2$ entonces $F(x)(1-x)$ genera $k^2$ .

$\frac{x}{(1-x)^4}: \left\{ 0,1,4,9,16,25... \right\}$
$\frac{x}{(1-x)^3}: \left\{ 0,1,3,5,7,9... \right\}$
$\frac{x}{(1-x)^2}: \left\{ 0,1,2,2,2,2... \right\}$
$\frac{x}{1-x}: \left\{ 0,1,1,1,1,1... \right\}$
$x: \left\{ 0,1,0,0,0,0... \right\}$

Así que, $F(x)=\frac{x}{(1-x)^5}$ genera $\sum_{k=0}^{n} k^2$

Answer 1

Las diferencias de $\{0,1,2,2,2,2,\dots\}$ son $\{0,1,1,0,0,\dotsc\}$ no $\{0,1,1,1,1,\dotsc\}$ .

Así que deberías conseguir

$$\begin{align} x+x^2 &: \{0,1,1,0,0,\dotsc\}\\ \frac{x+x^2}{1-x} &: \{ 0,1,2,2,2,\dotsc\}\\ \frac{x+x^2}{(1-x)^2} &: \{ 0,1,3,5,7,\dotsc\}\\ \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} &: \{ 0,1,4,9,\dotsc\} \end{align}$$

y

$$\frac{x(1+x)}{(1-x)^4}$$

como función generadora de $\sum k^2$ .

Answer 2

Sólo considere: \begin{align} \sum_{n \ge 0} z^n &= \frac{1}{1 - z} \\ \sum_{n \ge 0} n^2 z^n &= z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \left( z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \frac{1}{1 - z} \right) \\ &= \frac{z + z^2}{(1 - z)^3} \\ \sum_{n \ge 0} \left( \sum_{0 \le k \le n} k^2 \right) z^n &= \frac{z + z^2}{(1 - z)^4} \end{align} Sólo por el gusto de hacerlo: \begin{align} \sum_{0 \le k \le n} k^2 &= [z^n] \frac{z + z^2}{(1 - z)^4} \\ &= [z^{n - 1}] (1 - z)^{-4} + [z^{n - 2}] (1 - z)^{-4} \\ &= (-1)^{n - 1} \binom{-4}{n - 1} + (-1)^{n - 2} \binom{-4}{n - 2} \\ &= \binom{n - 1 + 4 - 1}{4 - 1} + \binom{n - 2 + 4 - 1}{4 - 1} \\ &= \binom{n + 2}{3} + \binom{n + 1}{3} \\ &= \frac{(n + 2) (n + 1) n + (n + 1) n (n - 1)}{3!} \\ &= \frac{(2 n + 1) (n + 1) n}{6} \end{align}

Answer 3

Intenta utilizar un polinomio cúbico de la forma general $an^3+bn^2+cn+d$ . Puedes resolver los coeficientes introduciendo un par de valores diferentes de n. Entonces, ¡resuelve el sistema de ecuaciones! Una matriz funcionaría muy bien. Esto es realmente un tipo de fuerza bruta. Puedo escribir una solución más elegante si quieres.

Answer 4

Según el ejemplo, cómo obtener el función generadora de cuadrados puedes hacer lo siguiente:

Utilice $$ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}k x^n= \frac{1}{(1-x)^{k+1}} $$ y establecer $$ a\binom{n+3}{3}+ b\binom{n+2}{2}+c\binom{n+1}{1}+d=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac n2=\sum_{k=1}^n k^2 $$ Encontrará $a=2,b=-3,c=1$ y $d=0$ . Así que $$ \frac{2}{(1-x)^4}-\frac{3}{(1-x)^3}+\frac{1}{(1-x)^2} $$ es el función generadora ...que resume la respuesta de Daniel...