Jacobi theta con una matriz

Question

Me gustaría evaluar $$ \sum_{q_1 = -\infty}^{\infty} \cdots \sum_{q_N = -\infty}^{\infty} e^{-\sum_{j}\sum_{k} q_{k} A_{kj} q_{j}} $$ con $A$ real $N\times N$ matriz simétrica.

Sé cómo calcular este al $q$ es continua (la suma es una integral), y sé cómo calcular este al $A$ es un escalar (un $1\times 1$, esto nos lleva a la Jacobi theta), pero Si trato de diagonalize $A$, termino con una transformación de la $q$s que no sé cómo escribir en términos de una suma. La transformada $q$s, $q' = O^{T}q$, son combinaciones lineales de las $q$s, y no sé cuál es el análogo de Jacobina-como objeto sería de suma (en lugar de la integración). Gracias.

Answer 1

Esto no se puede expresar en términos de funciones elementales (o de Jacobi theta): de hecho, la serie$$\Theta\left(\mathbf z | \Omega\right)=\sum_{\mathbf q\in\mathbb Z^N}e^{\pi i \mathbf q\cdot \Omega\cdot \mathbf q+2\pi i \mathbf q \cdot \mathbf z}$ $ es una generalización multidimensional de la función de Jacobi theta llamada función de Riemann theta . Su caso corresponde a la configuración de$\mathbf z=\mathbf 0$,$\Omega=\frac{iA}{\pi}$, es decir, a las constantes theta de Riemann.

Para la evaluación numérica, puede echar un vistazo a este documento .