Si$f:D\to D-\lbrace 0 \rbrace$ es holomórfico con$f(0)=1/2,$ entonces$\vert f(1/2)\vert\ge 1/8$

Question

Deje $D$ denotar al abrir la unidad de disco centrado en $0\in \mathbb{C}$ y supongamos $f:D\to D-\lbrace 0 \rbrace$ es analítica y $f(0)=1/2$. Espectáculo $\vert f(1/2)\vert \ge 1/8$.

La única técnica que se vienen a la mente cuando se trata con las desigualdades de $\vert f \vert$, cuando se define en $D$, son Schwarz Lema y Schwarz-Pick Lema.

Por el Schwarz-Pick Lema $$\Bigg \vert \frac{f(1/2)-f(0)}{1-\overline{f(1/2)}\cdot f(0)}\Bigg\vert\le 1/2$$ por lo $\vert f(1/2)-1/2\vert \le \frac{\vert 1-f(1/2)/2\vert}{2}=1/2-f(1/2)/4$.

No sabemos si el lado izquierdo es (a) $\vert f(1/2)\vert-1/2$ o (b) $1/2-\vert f(1/2)\vert.$

En caso de que (a) tenemos $-1/4\le 5\vert f(1/2)\vert/4$, lo cual no implica, necesariamente, la deseada, la desigualdad. En el caso (b) tenemos $0\le 3\vert f(1/2)\vert/4$ que también no implica la deseada desigualdad. Así que ni caso de cualquier uso.

Otra idea es considerar la función de $\frac{1}{f(z)}-2$ ya que se asigna a $0$ $0$(en un intento de aplicar Schwarz) pero no puedo demostrar que esta función de los mapas en $D$.

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Debemos usar la desigualdad de Harnack en lugar del lema de Schwarz.
Podemos escribir$f(z)=e^{g(z)}$ para algunos$g(z)$ analíticos en$D$ desde$f(z)\ne 0$ en$D.$ Deje que$u(z)=-\operatorname{Re}\,g(z),$ luego$u(z)$ tenga las propiedades que $u(z)$ es armónico en$D$,$u(z)\ge 0$ y$u(0)=\log 2$ porque$|f(z)|=e^{\operatorname{Re}g(z)}=e^{-u(z)}\le 1$ y$|f(0)|=1/2$.
Por la desigualdad de Harnack$u(z)\le \frac{1+|z|}{1-|z|}u(0)$ tenemos$$u(1/2)\le 3u(0)=\log 8.$$Therefore $ | f (1/2) | = e ^ {- u (1/2)} \ ge e ^ {- \ log 8} = \ frac {1} {8}. $