Producto Tensor de Submódulos

Question

En Keith Conrad el texto sobre el Tensor de Productos, afirma en la Página 8 del texto que para un anillo fijo $R$ $R$- módulos $M$, $M'$, $N$ y $N'$, y los mapas $f:M\to M'$, $g:N\to N'$ que $\text{ker}(f)\otimes_R M'$, estrictamente hablando no es un submódulo de $M\otimes_R N$ (y lo mismo para $M\otimes_R\text{ker}(g)$).

La pregunta que tengo en mente es:

Dado un anillo fijo $R$ $R$- módulos $M$, $N$ con submódulos $M'$$N'$, respectivamente, con los respectivos inclusión de mapas de $i:M'\to M$$j:N'\to N$, es posible que (1) $M'\otimes_R N'$ a no ser un submódulo de $M\otimes_R N$, y (2) $i\otimes j$ a no ser inyectiva?

Answer 1

Podría ser bueno para grabar varios ejemplos de esto, así que aquí está otra:

Tome $R =\mathbb Z$ (para los módulos son sólo abelian grupos), y vamos a $M' = 2 \mathbb Z \subset \mathbb Z = M$, e $N' = N = \mathbb Z/2\mathbb Z$ (por lo que la inclusión del mapa de $j$ es la identidad). Entonces cada una de las $M\otimes N$ $M'\otimes N' = M'\otimes N$ es isomorfo a $N$, pero $i\otimes j$ es el cero mapa.

Answer 2

Deje $R = k[x]/x^2$, vamos a $M = N = R$, vamos a $M' = N' = (x)$, y deje $i, j\colon(x) \to R$ ser la inclusión. A continuación, $M' \otimes_R N' = (x) \otimes_R (x)$ es distinto de cero (vea si usted puede probar esto!) pero en $i \otimes j$ la imagen de $M' \otimes_R N'$$M \otimes_R N = R \otimes_R R \simeq R$$(x)(x) = (x^2) = 0$. Por lo tanto $i \otimes j$ es el cero mapa.