Estoy confundido por la relación entre el principal y paquete de "habitual" aproximaciones a la curvatura de Riemann colector $M$ de dim $n$.
En la "costumbre" el enfoque de Riemann tensor de curvatura se define como $R(X,Y)Z =(\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X) Z $, en los componentes de $R ^a_{\phantom{a}bcd} =e^a R(e_c,e_d)e_b$. Es definido globalmente en $M$ y puede ser visto como un elemento $\mathcal{R}\in\Omega^2(M,\mathfrak{o}(n))$, $\mathcal{R}=\mathcal{R}^a_b\; e_a\otimes e^b$, con cada una de las $\mathcal{R}^a_b$ una 2-forma en $M$, $\mathcal{R}^a_b=(1/2)R^a_{bcd} \;e^c\wedge e^d$.
En el principal paquete de enfoque, se considera que el marco bundle $P$ asociado a$M$, $O(n)$- bundle con base $M$. La curvatura $\Omega$ $P$ es un elemento de $\Omega^2(P,\mathfrak{o}(n))$, que, siendo tensorial, puede ser identificada con un elemento $F_{\Omega}\in \Omega^2(M,\mathrm{ad} P)$, NO de $\Omega^2(M,\mathfrak{o}(n))$
Siempre que lo he dicho anteriormente es correcto, ¿cómo puedo recuperar a$\mathcal{R}$$\Omega$?
Yo habría esperado $F_{\Omega}=\mathcal{R}$, pero este no es el caso ya que toman valores en espacios diferentes.
NOTACIÓN: $\Omega^2(M,\mathfrak{o}(n))$ denota el espacio de 2-formas en $M$ toma valores en el álgebra de la Mentira $O(n)$; $\mathrm{ad} P$ es el adjunto paquete de $P$.
