$X: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no es Lipschitz continua

Question

Demostrar que no existe ningún Lipschitz continua en función de $X: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con la siguiente propiedad: La curva de $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\gamma(t)=\frac{t^2}{1+t^2}$ es una solución de la curva de ecuación diferencial $\dot{\gamma}(t)=X(\gamma(t)).$

Esto fue como un ejercicio de examen anterior en el Análisis de 2. Pero, en mi todos los esfuerzos que yo era capaz de demostrar que una función de este tipo $X$ es en el hecho de Lipschitz continua. He utilizado el hecho de $\dot{\gamma}(t)=\frac{2t}{(1+t^2)^2}=X(\gamma(t))$ y por definición de Lipschitz de la continuidad de este hecho fue delimitada para todos los $t \in \mathbb{R}$. No estoy seguro si he entendido problema real o no, pero necesito tu ayuda para esta pregunta.

Answer 1

Supongamos que $X$ $k$ Lipshcitz.

$$\dot \gamma(t) = |\dot \gamma(t) - \dot \gamma(0)| = |X(\gamma(t))- X(\gamma(0))| \le k|\gamma(t) - \gamma(0)| = k \gamma(t)$$

Imposible, ya que esto implica que para todos los $t\neq 0$, $kt^3 + kt - 2 \ge 0$, mientras que $kt^3 + kt - 2 \to -\infty$ $t \to - \infty$

Answer 2

Supongamos que una función de este tipo $X$ existe con constante de Lipschitz $C>0.$, Entonces por la definición de la continuidad Lipschitz, para todos los $t\in\mathbb{R}$ debemos tener $$\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}} \leq C\frac{t^{2}}{1+t^{2}}.$$ Entonces, la reorganización, para todos los $t\neq0$ tenemos $0\leq Ct^{3}-Ct^{2}-2.$ Pero en $t=0$ tenemos $Ct^{3}-Ct^{2}-2=-2<-1,$ y entonces no habría ningún punto de $t$ cuando la cúbico es igual a $-1,$ contradice el Teorema del Valor Intermedio (el polinomio es claramente continua en, digamos, el intervalo de $[-1,1]$).