Cómo factorizar polinomios como $x^4-x^2-1$$x^4-2x^2-1$$\mathbb{F}_{p}[x]$?

Question

Cuando se trata de polinomios cuyos ceros son $n^{th}$ raíces irracionales cuadráticas enteros (principalmente viviendas), como en los ejemplos anteriores, ¿cuál es el método general para determinar el grado de cada factor irreducible en $\mathbb{F}_{p}[X]$? Todos fuera de una lista de un número finito de números primos $p$ del curso. Elegí estos dos específicos por dos razones;

1). El grupo de Galois de los polinomios $f(X)=X^4-X^2-1$ $g(X)=X^4-2X^2-1$ no abelian, a diferencia de la $h(X)=X^4-4X^2+1$ cuyas raíces son

$\displaystyle\pm\sqrt{2\pm\sqrt{3}}=\pm\big(\frac{1\pm\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\big)$

en alusión a la reciprocidad cuadrática. Y que se adhiere a la raíz de $f$ o $g$ $\mathbb{Q}$no es de la forma $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{n})$.

2) había intentado, sin éxito y se olvidó hasta que volví, después de aprender algunos de reciprocidad, y era capaz de recordar en la posibilidad de que la manera de hacerlo para estos dos casos específicos.

Para un ejemplo de cálculo, los ceros de $f(X)$

$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ $\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$ .

La determinación de la acción del mapa

$T_{p}: \displaystyle r \mapsto r^{p} \pmod{p}$ $\displaystyle r \in \{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}, -\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}, \sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}, -\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\}$ un conjunto ordenado puede ser trabajado por el conocimiento de las propiedades de la cuártica de residuos símbolo $\displaystyle \Big[\frac{5}{p}\Big]_{4}=5^{\frac{p-1}{4}} \pmod{p}$

y que

$\displaystyle \sin(\frac{2\pi}{5})=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=(\frac{\sqrt[4]{5}}{2})\cdot\Big(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\Big)$.

A partir de allí, se convierte en mucho más fácil factor debido a la acción de $T_{p}$ es directo con el polinomio mínimo de a $\sin(\frac{2\pi}{5})$, y la acción es relativamente accesible con el residuo símbolo.

Lo mismo va para la determinación de la acción de la $T_{p}$ $g(X)$ considerando cuarto grado residuo símbolo

$\displaystyle \Big[\frac{2}{p}\Big]_{4}$ $\displaystyle \cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Pero este enfoque se siente demasiado ad hoc, y no dice nada acerca de cómo el factor de nada, como, por ejemplo, $\displaystyle f(X^n)$ en general. ¿Qué tipo de herramientas se utilizan para encontrar lo $h(X^{3})$ en $\mathbb{F}_{p}[X]$? $h(X^{\frac{3}{2}})$?

También, expresado mediante el lenguaje de los campos, esto plantea la cuestión de si el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}$ $q$ irracional plaza libre cuadrática entero

Answer 1

Recordar que cualquier polinomio irreducible de grado $n$ factores en factores lineales en $\Bbb F_{p^n}$. Como tal, usted puede calcular el $\gcd(p(x), x^{p^k}-x)$ para todos los más altos de la prime-de potencia $k\le n$. Hacemos esto para todos ellos como su polinomio no puede ser irreducible (por lo que puede ser un producto de factores irreducibles, pero sabemos que todos estos factores tienen un grado en la mayoría de las $n$). Así que compute para $k=q^j$ para el primer potencias $q^j\le n$, por lo que el $j$ es máxima (desde $j<j'\implies q^{j'}|q^j$). Entonces esto le da todos los posibles factores comunes con cada una de las $x^{p^{q^j}}-x$ que generar todas las posibles raíces de $p(x)$. Esto puede ser automatizado, mediante la programación de una computadora para ejecutar el algoritmo de Euclides en cada uno de los polinomios y de escupir el resultado.