$ \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{11}{12} \times \cdots$ (sólo los números primos en el numerador)

Question

Cómo demostrar la siguiente igualdad?

$$ \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{11}{12} \times \frac{13}{12} \times \frac{17}{16} \times \frac{19}{20} \times \frac{23}{24} \times \frac{29}{28} \times \frac{31}{32} \times \cdots$$

He visto esta fórmula en la Wikipedia.

Los numeradores son los impares, números primos, cada denominador es el múltiplo de cuatro más cercano al numerador.

Gracias.

Answer 1

Como mencioné en mi comentario de ayer, esta pregunta es muy similar a este, excepto que aquí queremos demostrar la identidad \begin{align*} \dfrac{\pi}{4}=\prod_{k=2}^{\infty}\left(1+\dfrac{(-1)^{\frac{p_{{k}}+1}{2}}}{p_{k}} \right )^{-1}, \end{align*} que resulta ser aún más simple. Así que, casi literalmente, reproducir la correspondiente a la mitad de mi anterior solución:

1. Descomponer el producto en el derecho como $$B=\prod_{\text{primes}\; p\\ \text{ of the form }4k+1}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}\prod_{\text{primes}\; p\\ \text{ of the form }4k+3}\left(1+\frac{1}{p}\right)^{-1}.\tag{1}$$

2. Considere la posibilidad de un entero impar $n=2m+1$. Es fácil comprender que si los números primos de la forma $4k+3$ aparecen en su primer número de la descomposición de un número par de veces, luego de lo $n$ es de la forma $4K+1$ [desde $(4k_1+3)(4k_2+3)=1\; \mathrm{mod}\;4$]. Si el número de apariciones es impar, entonces $n$ es de la forma $4K+3$.

3. Reescribir (1) (expansión de sus factores en la serie geométrica) como $$B=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{r(m)}}{2m+1}$$ donde $r(m)$ cuenta el número de apariciones de números primos de la forma $4k+3$ en la descomposición de la $2m+1$. Pero luego el Paso 2 permite escribir $(-1)^{r(m)}=(-1)^m$, por lo que $$ B=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2m+1}=\frac{\pi}{4}.$$

Answer 2

Deje $L(s,\chi)$ $L$ función para la que no principal modulo $4$ Dirichlet carácter

$$\frac{\pi}{4}=L(1,\chi)=\prod_{p}\frac{p}{p-\chi(p)}=\prod_{p\equiv 1 \text{mod 4}}\frac{p}{p-1}\prod_{p\equiv 3 \text{mod 4}}\frac{p}{p+1}$$