¿Qué es $\mathbb{C}^{Aut(\mathbb{C}/\mathbb{Q})}$?

Question

Deje $Aut(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$ ser el campo de automorfismos de a $\mathbb{C}$, e $\mathbb{C}^{Aut(\mathbb{C}/\mathbb{Q})}$ el subcampo de $\mathbb{C}$ fijado por este grupo. Yo supsect que es igual a $\mathbb{Q}$ pero tengo la dificultad de probarlo.

Aquí es lo que tengo que hacer : deje $x \notin \mathbb{Q}$. Tenemos que encontrar un automorphism no la fijación de las $x$. Es fácil encontrar un integrar $\mathbb{Q}(x) \rightarrow \mathbb{C}$ no el envío de $x$$x$, y utilizar el lema de Zorn para extender a un máximo de subcampo (de $\mathbb{C}$) $K \supset \mathbb{Q}(x)$. Pero no es cierto que $K=\mathbb{C}$. Entonces, ¿cómo manejarlo ?

Answer 1

En este trabajo en progreso, he estado el siguiente Teorema Fundamental de la Teoría de Galois:

Deje $K/F$ ser de cualquier extensión de campo. Los siguientes son equivalentes:
(i) Para todo subextensions $L$ de $K/F$, $K^{\operatorname{Aut}(K/L)} = L$.
(ii) Al menos uno de los siguientes sostiene:
(a) $K/F$ es algebraica, normal y separable (es decir, una extensión de Galois en el sentido usual de la palabra), o
(b) $K$ es algebraicamente cerrado de característica cero.

Esa es la buena noticia. La mala noticia es que este "Teorema", que escribí hace varios años, en realidad es sólo una conjetura (se ha mantenido como una pregunta abierta sobre MathOverflow por más de un año, que es de alguna indicación de su nontriviality, al menos). Bien, pero hay más buenas noticias: la implicación (ii) $\implies$ (i) es probado, y es bastante habitual la aplicación de los campos básicos de la teoría. Tu pregunta es un caso especial de (ii) $\implies$ (i), por lo que hay que ir.

Añadido: Mea culpa, la prueba de (ii) $\implies$ (i) en el vinculado a las notas es "$\ldots$". (Cuando no se puede probar la gran teorema del anuncio en la primera página, se pierde un poco de motivación para rellenar el resto de los datos, parece.) En su lugar, por favor, consulte la $\S 10.1$ de mi teoría de campo de notas en el que hay una completa la prueba de (incluso un resultado ligeramente más general) (ii) $\implies$ (i). Realmente, se los prometo.

Answer 2

Creo que el artículo Chandru publicado indica que usted puede intercambiar dos irracional algebraico números con el mismo polinomio mínimo o de cualquiera de los dos trascendental números con un automorphism de C. por Lo tanto el campo fijo de Aut(C/Q) es exactamente Q. El truco está en no considerar el poset de la extensión de los mapas de Q(x) en C, pero en lugar de comenzar con un automorphism del campo y, a continuación, busque en el poset de automorfismos de algunos de extensión de campo. El remate es hacia el final del artículo.