Resumen de álgebra - Ufd

Question

Estoy teniendo problemas para venir para arriba con un contraejemplo para el siguiente (no estoy interesado en una solución completa, en lugar quiero ideas/sugerencias):

(*) Para una inyectiva homomorphism de los anillos $\phi:R \rightarrow S$, $S$ una única factorización de dominio. Supongamos $R$ es una única factorización de dominio, pero no de un director de ideal de dominio. Entonces si $\delta$ es el máximo común divisor distinto de cero $x,y \in R$, $\phi(\delta)$ es un máximo común divisor de a$\phi(x)$$\phi(y)$$S$.

He probado a mantener pulsado para al $R$ es un PID, pero no estoy seguro de si tengo derecho a la intuición de por qué este es aún el caso.

Cualquier sugerencias para obtener de mí en la pista de la derecha se aprecia, era lo que el anillo de $R$ a considerar y por qué (*) sostiene que en el caso de que $R$ es un PID.

Answer 1

Sugerencia: comience en $S$. Encontrar un ejemplo de dos elementos con un trivial $\gcd$. A continuación, crear $R$ de tal manera que cuenta con los dos elementos, pero no el $\gcd$. Un anillo de $R$ a considerar en el spoiler.

$R=\mathbb{Z}[x^2,2x]$