¿Por qué no puede la teoría cuántica de campos se cuaterniones en lugar de complejos?

Question

Así, la definición de QFT en términos de las integrales de camino es que la función de partición es:

$$Z[J] \propto \int e^{iS[\phi]+J.\phi} D[\phi]$$

Pero ¿tiene sentido si en lugar de esto $U(1)$ la mecánica cuántica que se sustituya por $SU(2)$ de la unidad de cuaterniones:

$$Z[J] \propto \int e^{iS_1[\phi]+jS_2[\phi]+kS_3[\phi]+J.\phi} D[\phi]$$

Obviamente, hay tres acciones $S$ en lugar de uno. Así es este tipo de cosa prohibida? O es equivalente a algo más? (es decir, se podría todos 3 acciones pueden combinarse en uno solo?) Hay algo especial acerca de los números complejos? ¿Cuál es el principio físico o principio matemático que dice que solo debemos considerar la compleja $U(1)$ fases.

Answer 1

Teóricamente se puede. Adler escribió un libro Quaternionic la Mecánica Cuántica y la Cuántica de Campos, donde los detalles son resueltos. Véase también Arbab el reciente trabajo de Quaternionic la Mecánica Cuántica. Sin embargo, no está claro qué ventajas quaternionic teoría ofrece sobre el complejo y analítica de los problemas no funcionan muy bien. Ya Hamilton ha tenido dificultades al tratar de desarrollar quaternionic análisis, la teoría es bastante pobre en comparación a lo complejo.

Adler escribe:"*sabemos que en analogía con complejo de la analiticidad, mucho más restringido que el concepto de analiticidad de cuaterniones se ha desarrollado en la matemática de la literatura... no hemos encontrado ninguna contexto del desarrollo de quaternionic la mecánica cuántica en la que el uso de cuaterniones analiticidad parece natural (pero podría haber uno)". Como un comentarista, "esencialmente Aliso es la utilización de complejos de la mecánica cuántica con cuaterniones coeficientes sólo cuando sea seguro", ver más aquí.