¿Por qué tienen grosor las líneas de los espectros atómicos? (Modelo de Bohr)

Question

Consideremos el espectro atómico (absorción) del hidrógeno.

El modelo de Bohr postula que sólo hay ciertas órbitas fijas permitidas en el átomo. Un átomo sólo se excitará a una órbita superior, si se le suministra luz que precisamente coincide con la diferencia de energías entre las dos órbitas.

Pero qué significa "precisamente". Por supuesto, si necesitamos energía $E$ para excitar el electrón a un nivel de energía superior, y suministro un fotón con sólo $E/2$ Yo esperaría que no pasara nada (ya que el electrón no puede ocupar una órbita entre las permitidas). Pero ¿y si proporciono un fotón con energía $0.99E$ o $1.0001E$ o un número parecido. ¿Qué ocurrirá entonces?

Creo que el electrón debe seguir sufriendo excitación precisamente porque las líneas que observamos en el espectro de líneas tienen cierto grosor. Lo que significa que para una transición dada, el átomo absorbe frecuencias en un cierto rango.

¿Es correcto mi razonamiento? En caso negativo, ¿por qué? ¿Cómo lo explica el modelo de Bohr? ¿Y la teoría moderna?

Si no me equivoco, ¿cuál es el rango de valores que un átomo puede "aceptar" para una transición determinada?

Answer 1

Según el modelo de Bohr, las líneas de absorción y emisión deberían ser infinitamente estrechas, porque sólo hay un valor discreto para la energía.

Existen varios mecanismos de ensanchamiento de la anchura de la línea: anchura natural de la línea, ensanchamiento por presión de Lorentz, ensanchamiento Doppler, ensanchamiento Stark y Zeeman, etc.

Sólo el primero no está descrito en la teoría de Bohr: se trata claramente de un efecto cuántico, consecuencia directa del principio de incertidumbre tiempo-energía:

$$\Delta E\Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$$

donde el $\Delta E$ es la diferencia de energía, y $\Delta t$ es el tiempo de decaimiento de este estado.

La mayoría de los estados excitados tienen tiempos de vida de $10^{-8}-10^{-10}\mathrm{s}$ por lo que la incertidumbre en la energía ensancha ligeramente la línea espectral en un orden aproximado de $10^{-4}Å$ .

Answer 2

La respuesta es sí, el átomo absorbe radiaciones que no coinciden exactamente con la frecuencia de transición. Esto se debe al efecto Doppler que todo el mundo conoce de una ambulancia con sirena pasando. La frecuencia que se oye es más alta si la ambulancia se acerca y más baja si se aleja.

Lo mismo ocurre con el átomo. Si el átomo se mueve (y lo hace a menos que lo enfríes a realmente bajas temperaturas) la frecuencia observada de la radiación que ilumina se desplaza en función de la dirección de desplazamiento de la luz y de la dirección y velocidad a la que se mueve el átomo (en el producto escalar de ambas). El fenómeno que has descrito se llama Ensanchamiento Doppler de las líneas espectrales y yo diría que el efecto puede describirse utilizando el modelo de Bohr, ya que se trata de un efecto puramente clásico.

La técnica para eliminar estas líneas de extremo ancho se denomina espectroscopia sin Doppler. Utiliza algunas técnicas interesantes que puedes buscar fácilmente en Google.

Editar : Hay más efectos de ensanchamiento (como los que menciona m0nhawk en su respuesta). Pero en condiciones normales el ensanchamiento doppler tiene el mayor efecto de todos ellos y se superpone a los demás.

Edición 2 : Wolfram alpha ofrece un herramienta para calcular el ensanchamiento doppler térmico. Dice que la línea de la imagen anterior ( $486\mathrm{nm}$ ) en $T=300\mathrm{K}$ se amplía $\Delta\lambda\approx 4\cdot10^{-2}Å$

Answer 3

Los anchos de línea se obtienen de forma muy natural a partir de las ecuaciones de Maxwell, tratando el átomo como una pequeña antena clásica. Hago los cálculos para la transición 2p-1s en hidrógeno en mi blog aquí: El cálculo semiclásico

La idea es que a partir de la ecuación de Schroedinger, la superposición de los estados s y p da como resultado un diminuto dipolo oscilante de aproximadamente 1 Angstrom de longitud, una frecuencia de 2,5 x 10^15 Hz y una longitud de onda de 1200 Angstroms.

A partir de la relación entre el tamaño de la antena y la longitud de onda, se puede calcular fácilmente la resistencia a la radiación: es del orden de 100 micro-ohmios.

La "corriente" en la antena puede calcularse multiplicando la carga del electrón por la frecuencia. Esto no es del todo correcto, pero se aproxima lo suficiente para lo que estamos haciendo aquí. Curiosamente, para el átomo de hidrógeno se obtiene un valor aparentemente macroscópico de alrededor de 1 miliamperio.

La potencia en la antena es sólo I-cuadrado-R, lo que nos da 100 picovatios. ¿Pero qué pasa con la energía en el estado excitado? Es 3/4 Rydberg, lo que equivale a unos 0.000 001 pico-joules. Así que la "vida" del estado excitado es de unos 10-8 segundos.

Puedes continuar con el análisis clásico para obtener tu ancho de línea tomando la relación entre el "tiempo de vida" y el tiempo de ciclo único. En la teoría de antenas se denomina factor Q. O puedes utilizar el lenguaje de la mecánica cuántica, como han hecho otros autores, y expresar el ensanchamiento del ancho de línea en términos del principio de incertidumbre. Es exactamente lo mismo.

Pero no se puede aplicar el principio de incertidumbre hasta que no se calcule la constante de desintegración, o "tiempo de vida". Y eso viene directamente de la teoría clásica de antenas.

EDIT: Acabo de darme cuenta de que la respuesta aceptada afirma que el ancho de línea se calcula simplemente aplicando el principio de incertidumbre de Heisenberg. Seguramente esto es bastante incorrecto. En el ejemplo dado, el "tiempo de vida" se toma como dado... pero es precisamente el tiempo de vida (que es inverso al ancho de línea) lo que queremos calcular. No se obtiene el ancho de línea aplicando Heisenberg al tiempo de vida... se obtiene dividiendo el tiempo de vida por la velocidad de la luz. Y eso nos lleva a la pregunta... ¿cómo has obtenido el tiempo de vida?

Como ya he explicado, se obtiene la vida útil aplicando las ecuaciones clásicas de la antena al átomo vibrante. Es un cálculo muy clásico.