Demostrar que $G/H$ tiene la topología trivial si $H \subset G$ es denso

Question

Estoy teniendo problemas con esta pregunta de asignación y esperaba que alguien pudiera indicarme la dirección correcta.

Dejemos que $G$ sea un grupo dotado de una topología de Hausdorff en el que la operación de grupo y la inversión son continuas. Sea $H$ sea un subgrupo. Sea $g_1 \sim g_2$ si $g_1h = g_2$ para algunos $h \in H$ y denotar por $G/H$ el conjunto de clases de equivalencia. Sea $G/H$ tienen la topología del cociente.

Demostrar que si $H$ es denso en $G$ entonces $G/H$ tiene la topología trivial.

Mi intento:

El objetivo es demostrar que si $A \subset G/H$ es no vacío y abierto, entonces $A = G/H$ . Sea $\rho$ denota el mapa cociente estándar de $G$ a $G/H$ que mapea cada $g \in G$ a la clase de equivalencia que contiene $g$ . Supongamos que $A$ contiene el elemento $C = \{g_1, g_2, ...\} \in G/H$ . ( $C$ es una clase de equivalencia). Entonces, $C \subset \rho^{-1}(A)$ . Pero $C = gH$ para algunos $g \in G$ y $H$ es denso, por lo que $C$ también es denso en $G$ . Así que, $G = \overline{C} \subset \overline{\rho^{-1}(A)}$ y así $\overline{\rho^{-1}(A)} = G$ .

Creo que tenemos que demostrar que $\overline{\rho^{-1}(A)} = \rho^{-1}(\overline{A})$ . Porque eso nos daría $\overline{A} = \rho(G) = G/H$ (que no muestra del todo el resultado deseado $A = G/H$ Así que tal vez esté yendo en la dirección equivocada). Pero sólo tenemos $\rho^{-1}(\overline{A}) \subset \overline{\rho^{-1}(A)}$ de la continuidad de $\rho^{-1}$ . Aquí es donde estoy atascado. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Desde $H$ es denso en $G$ Así es $xH$ por cada $x \in G$ .

Un subconjunto $E$ de $G$ es saturado con respecto a $H$ si siempre que $g \in E$ Así es $gh$ por cada $h \in H$ . En otras palabras, $E$ es una unión de cosets de la izquierda.

Dejemos que $\pi: G \rightarrow G/H$ sea el mapa de proyección. De la definición de la topología del cociente se deduce que los conjuntos abiertos de $G/H$ son exactamente las imágenes $\pi(U)$ , donde $U$ recorre los conjuntos abiertos saturados de $G$ .

Si $U$ es un conjunto abierto saturado no vacío, entonces $U = G$ . Esto se debe a que para cada $x \in G$ , $U$ contiene un punto de $xH$ por lo que contiene todos los puntos de $xH$ .

Dejemos que $\pi(U)$ sea un conjunto abierto no vacío en $G/H$ , para $U$ un conjunto abierto saturado en $G$ . Desde $\pi(U)$ no es vacía, tampoco lo es $U$ Por lo tanto $U = G$ y $\pi(U) = G/H$ .