Deje $(X, \|.\|)$ ser un NLS, $x\in X$ $0 < r<s.$ Muestran que $B(x, r)\subsetneq B (x, s).$

Question

En mi texto que he encontrado el problema:

Deje $(X, \|.\|)$ ser una normativa espacio lineal, $x\in X$ $0 < r<s.$ Muestran que $B(x, r)\subsetneq B (x, s).$

Puedo ver si $\exists~y\in X-\{0\}$ $x+\frac{r}{\|y\|}y\in B(x,s)-B(x,r).$

Pero lo que si no es distinto de cero $y$ existe ? es decir, lo que si $X$ es la trivial espacio vectorial sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C?$

Answer 1

Creo que la definición estándar de la normativa del espacio lineal permite a $X = \{0\}$, ya que en este caso se podría presentar en las aplicaciones, a saber. como el núcleo de algunos inyectiva operador o la imagen de un operador que tiene cero como un valor propio. Así que creo que tenemos que asumir $X \ne \{0\}$, o (equivalente) que $X$ contiene un elemento no nulo. (Por cierto, el widipedia definición de NLS permite a $X = \{0\}$, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space.) Suponiendo que este sea el caso, el OP del argumento parece ser básicamente correcta. Sólo para el registro, esta es mi manera de llegar a ella: escoja cualquier $y \in X$, $y \ne 0$, de modo que $||y|| \ne 0$ Pick $\alpha$ real, $0 < \alpha <\frac{r}{||y||}$; a continuación,$||\alpha y|| = \alpha ||y|| < r$, lo $\alpha y \in B(0, r)$. Pick real $\rho$$r < \rho < s$. Set $\beta = \frac{\rho}{||\alpha y||}$. A continuación,$||\beta \alpha y|| = \beta ||\alpha y|| = \rho$, lo $\beta \alpha y \in B(0, s)$; desde $\rho > r$, $||\beta \alpha y|| \notin B(0, r)$. Ahora se acaba de traducir todo por $x$. Por cierto, esta "prueba" funciona si las bolas $B(x, d)$ están abiertos o cerrados.