Transformación lineal en $\mathbb {R}^6$

Question

Deje que $W$ ser un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ y dejar $T:\mathbb R^6 \to W$ sea una transformación lineal tal que $S = \{Te_2, Te_4, Te_6\}$ abarca $W$ . ¿Cuál de los siguientes debe ser cierto?

• (A) $S$ es una base de $W$
• (B) $T( \mathbb R^6) \ne W$
• (C) $\{Te_1, Te_3, Te_5\}$ abarca $W$
• (D) $\ker T$ contiene más de un elemento

Tengo problemas para empezar este problema.

Aquí están mis hallazgos hasta ahora:

Probé el teorema de la dimensión y encontré que $\ker (T)$ contiene más de tres elementos, así que (D) es incorrecto.
Y tomando $\dim (T( \mathbb R^6))= \dim (W)$ tenemos $T( \mathbb R^6)=W$ así que (B) es incorrecta.
Creo que la opción (C) es correcta pero aún no puedo probarlo.

Answer 1

Este problema se aborda más eficazmente mirando cada punto y preguntándose ¿Cómo puede estar mal esto? . Déjame empezar:

Desde $W$ se extiende por un conjunto de tres vectores, tiene dimensión a lo sumo $3$ . Supongamos entonces $W = \mathbb R^d$ con $d \in\ {0,1,2,3\}$ para las tareas (en realidad esto será suficiente).

Para que (A) salga mal, $S$ debe ser linealmente dependiente. Este es el caso si nuestro $d$ es más pequeño que $3$ lo cual es ciertamente posible. Un ejemplo concreto de $d = 2$ sería $$T = \pmatrix {1&2&3&0&0&0 \\0 &0&0&1&2&3} \\ S = \{Te_2, Te_4, Te_6\} = \{(2,0)^T, (0,1)^T, (0,3)^T\}$$

¿Hay alguna manera de hacer que (B) se equivoque?

y así sucesivamente...

Estaré encantado de proporcionarle más ayuda dado que realmente muestra algo de trabajo. Considere esto como un "inicio" ;)