Mostrando que el perímetro de un círculo es $2\pi r$. No es esta una definición?

Question

Hoy en día, me encontré en una clase de cálculo y el profesor fue calcular el perímetro de un círculo utilizando longitudes de arco. A pesar de que parecía estar en la pista de la derecha, hay un problema:

Ellos son el uso de $\sin x$ e $\cos x$ funciones, que en realidad son definidos usando el perímetro de un círculo, ¿no? Así que, en mi opinión, que no era una prueba real, ya que estaban usando lo que ellos quieren mostrar.

O me estoy perdiendo algo? Fue una verdadera prueba?

Edit: no lo sé, pero es más que probable que definen $\sin x$ $\cos x$ en la forma habitual, porque era una clase de cálculo.

Answer 1

$\sin x$ $\cos x$ puede ser definida usando el círculo unidad, pero existen otras definiciones. Por ejemplo, $\sin x$ $\cos x$ puede ser definido como:

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

y

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$

que son sólo sus Series de Taylor de las representaciones.