Una muy familiarizado reino de preguntas. Álgebra abstracta, a menudo atrae, en sus niveles de primaria, porque no parece requerir difícil de topología y geometría diferencial. Esto es una ilusión: álgebra abstracta es sino un siervo a los problemas más importantes, que son inseparables de la física. Mentira grupos y álgebras, por sí solos, poco, a menos que estén listos herramientas para diferencial-problemas geométricos, por ejemplo, en la mecánica y el control óptimo.
Para ver la conexión, yo recomendaría buscar en papel 18 aquí: http://www.math.rutgers.edu/~sussmann/currentpapers.htmly también navegar por las secciones pertinentes de V. Arnol d "Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica".
Ahora, a sus preguntas específicas.
Esta pregunta parece suponer que more open problems'' impliesmás fácil para hacer la investigación." No es necesariamente el caso. Creo que, la calificación que usted está buscando la presencia de problemas abiertos que pueden ser abordados por resolver el más simple de los casos, y, a continuación, añadir a la generalidad. (Que es como se debería perseguir cualquier investigación.)
Sí, definitivamente. Este es exactamente el tema de Arnol d del artículo de divulgación "En la enseñanza de las matemáticas". En particular, él dice que no es razonable para enseñar anillo ideales para estudiantes que nunca han visto un hypocycloid. Aunque en la actualidad en la minoría, él no está solo en sus puntos de vista: Von Neumann, Kolmogorov, y Atiyah todos insistió en que un matemático debe siempre tener cuidado a la estancia conectada con la física y otros campos. (Por desgracia, muchos de los matemáticos de hoy en día son "Bourbakists".) Pontryagin, un reconocido topologist, también hizo contribuciones fundamentales a la teoría de control óptimo. También, busque en los temas de Von Neumann trabajó a lo largo de su vida. Turing, además de su trabajo en la computabilidad, publicó un documento sobre la "Base Química de la Morfogénesis."
Definitivamente en lo que más te interesa (porque a veces, en los picos de la exasperación, es su ÚNICA motivación para empujar a través de). Con la siguiente advertencia: asegúrese de que las preferencias están informados. (E. g., es fácil pensar que algo es un campo prometedor, cuando en realidad es sólo un silo de desprendimiento y estrecho problemas, como "Clasificar todo el conjugado de clases de un grupo dado.") En lo que usted describe, que parecen alejarse de las ecuaciones diferenciales, diferenciable colectores, y, en general, el análisis. No es bueno y muy peligroso, pero también es típico. "Algebrista" no significa "libre de análisis y geometría diferencial y (¡oh, horror!) teoría de la medida."
Otra idea es hablar con algunos facultad de ingeniería que trabajan en un matemáticamente pesados campo de la ingeniería (por ejemplo, control óptimo, la teoría de la elasticidad, el procesado estadístico de señales). Los gráficos son agradables, pero podría dejarte sin fondo en el diferenciable aparato de matemáticas.
La mejor de las suertes!
