Cómo muchos parciales necesita ser continua para la diferenciabilidad implica?

Question

Deje $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Deje $x_0 \in \mathbb{R}^n$. Suponga $n-1$ parciales existen en algunos pelota que contiene $x_0$ y son continuas en a $x_0$, y el restante $1$ parcial se supone que sólo existe en $x_0$. Un conocido resultado de los estados que esto implica $f$ es diferenciable en a $x_0$.

Mi pregunta es si esto puede ser reforzado. Podemos reemplazar "$n-1"$ en el teorema anterior con alguna función $g(n)$ "más pequeño" que $n-1$, y reemplazar "restante $1$ parcial" con el "resto de $n-g(n)$ parciales"?

Siéntase libre para jugar con los supuestos ligeramente. Por ejemplo, se puede sustituir "continua en $x_0$" continuo "en $x_0$ y en algunos pelota que contiene $x_0$".

Answer 1

Para $n = 2$ no es suficiente para suponer que el 2 derivadas parciales de simplemente existir.

Esto se generaliza a abitrary $n$. Suponemos que podría tomar $g(n) = n-2$. Considere la posibilidad de cualquier función de $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y definen $F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, F(x_1,\ldots,x_n) = f(x_1,x_2)$. Tenemos $\frac{\partial F}{\partial x_i}(\xi^0) = 0$ $i= 3,\ldots,n$ y podría, por tanto, a la conclusión de que $F$ es diferenciable en a $\xi^0$ si los dos primeros parciales existen en $\xi^0$. Pero esto significaría que el $f$ es diferenciable en a $(\xi_1^0,\xi_2^0)$ lo cual no es cierto en general.

Answer 2

Se ha dicho que (i) en $\Bbb R^2$, la mera existencia de ambos parciales no es suficiente, (ii) se deduce que la continuidad de la $n-2$ parciales en $\Bbb R^n$ no es suficiente.

Esto es acerca de (i); para el beneficio de los lectores a los que no es obvio, lo que realmente es obvio.

El punto es que, por definición, la existencia y el valor de $f_x(0,0)$ sólo depende de $f(h,0)$, y de manera similar a $f_y(0,0)$ sólo depende de $f(0,h)$, de modo que la existencia de $f_x(0,0)$ $f_y(0,0)$ no puede decir nada acerca de $f(x,y)$ cuando ni $x$ ni $y$ se desvanece. Para ser explícitos, vamos $$f(x,y)=\begin{cases}1,&(xy=0),\\0,&(xy\ne0).\end{cases}$$Then $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ but $f$ no es continua en el origen.

Sugerencia para los lectores intrigados por algunas de las afirmaciones anteriores: sospecho que usted está tomando "diferenciar con respecto a $x$, fingiendo $y$ es una constante", como la definición de $f_x$. Eso es un poco difusa a utilizar en las pruebas de - menos aproximada de la versión de la definición es $$f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h.$$