Hay una estrecha forma de solución para esta serie?

Question

Quiero encontrar cerca de la forma de solución para esta serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{x}{3^n}\right)\sin^2\left(\frac{x}{3^n}\right)$$ Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sugerencia

Conjunto $$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{3}^{n-1}}{{\sin }^{3}}\left( \frac{x}{{{3}^{n}}} \right)}$$ tenemos $$f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\cos \left( \frac{x}{{{3}^{n}}} \right){{\sin }^{2}}\left( \frac{x}{{{3}^{n}}} \right)}$$ Ahora uso esta identidad y encontrar $f(x)$ $${{\sin }^{3}}\theta =\frac{3}{4}\sin \theta -\frac{1}{4}\sin 3\theta$$

Answer 2

Sugerencia:

Linearise cada término:

$$\begin{align*}\cos\left(\frac{x}{3^n}\right)\sin^2\left(\frac{x}{3^n}\right)&=\cos\left(\frac{x}{3^n}\right)\times\frac12\biggl(1-\cos\Bigl(\frac{2x}{3^n}\Bigr)\biggr)=\frac12\biggl(\cos\Bigl(\frac{x}{3^n}\Bigr)-\cos\Bigl(\frac{x}{3^n}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{2x}{3^n}\Bigr)\biggr)\\ \\&=\frac12\biggl(\cos\Bigl(\frac{x}{3^n}\Bigr)-\frac12\biggl(\cos\Bigl(\frac{3x}{3^n}\Bigr)+\cos\Bigl(\frac{x}{3^n}\Bigr)\biggr)\biggr)\\ &=\frac14\biggl(\cos\Bigl(\frac{x}{3^n}\Bigr)-\cos\Bigl(\frac{x}{3^{n-1}}\Bigr)\biggr). \end{align*}$$ Ahora tiene un telescópico de la serie.

Answer 3

Jugando con la serie numérica (trazado, etc) parece que es igual a $\frac12 \sin^2(\frac{x}{2})$. No tengo una prueba ahora mismo (y yo soy demasiado perezoso para el trabajo de uno), pero parece que funciona. Por favor, siéntase libre de comprobar usted mismo ;-)

Con esto en mente, usted podría ser capaz de llegar a algo.

Saludos!