Medidas que no son reales-valores de

Question

Actualmente estoy comenzando a estudiar teoría de la medida y las definiciones que he visto hasta ahora son:

Un espacio medible es un par $(X,M)$ $X$ no vacío y $M$ $\sigma$- álgebra de subconjuntos de a $X$ que se llaman conjuntos medibles.

Una medida en el espacio medible $(X,M)$ es una función de $\mu : M\to [0,+\infty]$ la satisfacción de:

• $\mu(\emptyset)=0$,
• Si $\{E_n \in M : n\in \mathbb{N}\}$ es una contables colección de pares distintos conjuntos medibles, a continuación, $$\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)=\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n).$$

Ciertamente este sentido ya que la idea aquí es que el $\mu$ es una generalización de la noción del "tamaño" de los conjuntos medibles.

El punto es que soy consciente de que hay medidas que son no reales con valores como la definida anteriormente. Por ejemplo, ya he escuchado acerca de las medidas complejas. Otro bastante interesante ejemplo es el proyector valores de las medidas que aparecen en el teorema espectral en el Análisis Funcional.

Aquellos proyector valores de las medidas de no tomar valores de un conjunto de números. Ellos toman valor en un subconjunto de la álgebra de operadores en un espacio de Hilbert.

Ahora, en primer lugar me parece bastante intuitiva la definición de la medida anterior, pero no puedo ver cómo estas otras medidas surgir y cómo son significativos.

Así que, ¿cómo estas medidas que no son reales-valores de surgir? Cómo se relacionan con esta definición? Y creo que es más importante, ¿qué es la intuición detrás de entonces? La medida definidos anteriormente se pretende generalizar la idea de el tamaño de un conjunto, pero esas otras medidas de lo que pretenden ser? Ellos no pueden ser acerca de los tamaños, ya que puede tomar valores en los conjuntos que no son de números. Entonces, ¿cuál es el punto con ellos?

Answer 1

Generalmente, el codominio de una medida puede ser $[0,+\infty]$, $\mathbb{R} \cup \{-\infty \}$, $\mathbb{R} \cup \{+\infty \}$, $\mathbb{C}$ y cualquier espacio de Banach. El resto de la definición de la medida sigue siendo el mismo. Los nombres habituales son:

• la medida, si el codominio es $[0,+\infty]$;
• firmado medida, si si el codominio es $\mathbb{R} \cup \{-\infty \}$ o $\mathbb{R} \cup \{+\infty \}$;
• complejo de medir, si el codominio es $\mathbb{C}$;
• vector de valores de medida o vector de medida, si el codominio es un espacio de Banach

Desde la continua transformación lineal en un Espacio de Hilbert formar un espacio de Banach, proyector valores de las medidas que aparecen en el teorema espectral en el Análisis Funcional es un caso especial de vector de valores de medida. Este caso especial es a veces llamado espectral de las medidas.

La intuición detrás de esos conceptos es siempre la misma: "a medida". Usemos un poco la Física. Para medir la carga eléctrica total de una región del espacio que usted probablemente querrá una firma de medida. Para medir la cantidad de campo magnético en una región del espacio, es probable que desee un vector de valores de medida (uno con codominio $\mathbb{R}^3$). Por supuesto, los que tan solo informal motivación.