¿Cómo puedo cambiar uno de mis límite de $-\infty$ $\infty$para evaluar esta Integral?

Question

Estoy tratando de evaluar:

$$\Large{\int_0^1 x^m \ln^n (x)\mathrm{dx}}$$

$$y=-\ln x \implies x=e^{-y} $$

$$dy/dx=1/x \implies dx=x dy= e^{-y} dy$$

$$ - \int_{-\infty}^{0} e^{-(m+1)y} (-1)^n y^n \mathrm{dy}$$

$$u=(m+1)y \implies du=dy$$

Yo Sé cómo resolver esto, Si yo pudiera cambiar el límite inferior de $-\infty$$\infty$, ¿cómo puedo cambiar eso?

Espero que veas que yo no puedo hacer la obvia $s=-u$ porque estoy tratando de utilizar la función Gamma, así que por favor no sugieren que la o $u=-(m+1)y$

Answer 1

Sugerencia: Sustituya $x=e^{-u}$: $$ \begin{align} \int_0^1x^m\log(x)^n\,\mathrm{d}x &=(-1)^{n+1}\int_\infty^0u^ne^{-(m+1)u}\,\mathrm{d}u\\ &=(-1)^n\int_0^\infty u^ne^{-(m+1)u}\,\mathrm{d}u \end{align} $$

Answer 2

Para una gran variedad :

$$\begin{align} \int_0^1 x^m \ln^n (x)\mathrm{dx} &=\int_0^1 \frac{\partial^n}{\partial m^n}x^m\mathrm{dx} \\~\\ &= \frac{\partial^n}{\partial m^n}\int_0^1x^m\mathrm{dx} \\~\\ &= \frac{\partial^n}{\partial m^n}\dfrac{1}{m+1} \\~\\ &= \dfrac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}} \\~\\ \end{align}$$

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Esto es realmente un problema clásico! Para el uso de la función Gamma, $x = e^{\frac{-u}{m+1}}$ de sustitución funciona sin problemas. Ver Segundo's_dream

Answer 3

Sólo quiero mencionar que los dolores de integración por partes también funciona, y usted no necesita nada de fantasía como $\Gamma$-Funciones o Feynman del truco. Vamos a ver:

$$ I(m,n)=\int_0^1x^m\ln^n(x)=\underbrace{\frac{n}{m+1}x^{m+1}\ln^n(x)\big|_0^1}_{=0}+\frac{n}{m+1}\int_0^1x^m\ln^{n-1}(x) $$

Integrando de nuevo por partes, a ver lo que pasa

$$ I(m,n)=\underbrace{\frac{n}{(m+1)^2}x^{m+1}\ln^{n-1}(x)\big|_0^1}_{=0}-(-)^2\frac{n (n-1)}{(m+1)^2}\int_0^1^m\ln^{n-2}(x) $$

Ahora es evidente que este proceso se repite hasta que el poder de la logatrithm es traído a uno debido a que su derivada es sólo $1/x$, y el resultado de la integral no desaparecerá en los extremos. Tenemos $$ I(m,n)=\underbrace{\frac{(n-1)!}{(m+1)^{n}}x^{m+1}\ln(x)\big|_0^1}_{=0}-(-)^{n+1}\frac{n!}{(m+1)^n}\int_0^1x^m=(-1)^n\frac{n!}{(m+1)^{n+1}} $$