Extensiones de campo como $F$ adhieren a algún elemento

Question

Dejemos que $F$ sea un campo y $E$ una extensión de $F$ . ¿Es posible escribir siempre $E=F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)$ ?

Si $E$ es una extensión finita, entonces creo que es posible escribir $E=F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ . Mi razón es que si tomamos $\alpha\in E$ entonces como $[E:F]<\infty$ para algunos $n$ debemos tener $\alpha^n\in\text{Span}\{\alpha, \ldots,\alpha^{n-1}\}$ . Lo que significa que $\alpha$ satisface un polinomio (irreducible) en $F[x]$ . Si seguimos haciendo esto para cada elemento de $E$ entonces obtenemos $E=F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ . ¿Es esto correcto?

¿Qué pasa con el caso cuando $E$ no es una extensión finita?

Merci

Answer 1

Un ejemplo es $\mathbb R$ como extensión de $\mathbb Q$ .

Answer 2

Cuando $E$ es una extensión finita de $F$ siempre podemos hacerlo. Porque supongamos que $[E:F] = n$ . Entonces esto significa que podemos elegir $\alpha_1 \in E \setminus F$ . Ahora considere $F(\alpha_1)$ como un subespacio de $E$ . Como subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita es de dimensión finita por lo que $F(\alpha_1)/F$ es una extensión finita. Ahora bien, si $[F(\alpha_1):F] = n$ Entonces hemos terminado porque $E = F(\alpha_1)$ . En caso contrario, si es inferior a $n$ repetimos este procedimiento de nuevo y encontramos $\alpha_2 \in E \setminus F(\alpha_1)$ y mira $[F(\alpha_1,\alpha_2):F] = [\big(F(\alpha_1)\big)(\alpha_2):F]$ . Al final nos detendremos porque $\dim_F E$ es finito, por lo que

$$E = F(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$$ para algunos $\alpha_1,\ldots \alpha_n \in E$ .

Editar: Qiaochu ha publicado un ejemplo aquí sobre MO para demostrar que no es cierto que toda extensión algebraica se obtenga uniendo un número contable de elementos.

Answer 3

Si $E/F$ es una extensión finita, entonces $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ con alguna base $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ y por lo tanto $E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ .