Demostrar que $\sum_{k=0}^n{e^{ik^2}} = o(n^\alpha)$ , $ \forall \alpha >0$

Question

Quiero demostrar que : $\sum_{k=0}^n{e^{ik^2}} = o(n^\alpha)$ , $ \forall \alpha >0$ cuando $n$ tiende a $+\infty$

Quizás $\sum_{k=0}^n{e^{ik^2}}$ está acotado, no lo sé.

¿Tienes ideas?

Answer 1

No tengo una prueba, pero tengo un argumento heurístico y resultados numéricos que van en contra de tu conjetura, que podrían ser interesantes para ti.

Considere la siguiente heurística. Para un tamaño suficientemente grande $n$ Supongamos que los términos de la suma se distribuyen "al azar" alrededor del círculo unitario en el plano complejo. En esta aproximación tu suma es equivalente a un paseo aleatorio en el plano complejo con $n$ pasos de longitud 1. Sea \begin {Edición} f(n) = \sum_ {k=0}^n e^{ik^2}. \end {ecuación} Entonces, el argumento anterior implica no sólo: \begin {Ecuación} \operatorname {Re}(f(n)), \operatorname {Im}(f(n)) \in O( \sqrt {n}) \end {ecuación} pero incluso la condición más fuerte \begin {equation} |f(n)|^2 \sim n + g(n) \end {Ecuación} con \begin {align} \operatorname {Re}(g(n)), \operatorname {Im}(g(n)) \in o( \sqrt {n}). \end {align} La corrección $g(n)$ proviene del hecho de que el "paseo aleatorio" comienza en el positivo $\Re$ dirección y luego se dirige en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano complejo, lo que sesga $f(n)$ del orden de la longitud de persistencia del paseo aleatorio.

Así que... he comprobado mi idea numéricamente, y los resultados son muy extraños. Echa un vistazo:

Los órdenes de magnitud son más o menos correctos, lo que apoya mi argumento heurístico. Sin embargo, la función no se comporta del todo bien. Las fluctuaciones relativas esperadas en $|f(n)|^2$ si se trata de un $n$ -de pasos aleatorios son $1/\sqrt{n}$ las fluctuaciones que vemos aquí son mucho mayores que esto. Además, es obvio que hay cierta periodicidad en $|f(n)|^2$ , con periodos al menos tan largos como $10^9$ . Incluso sospecho que hay algo de autosimilaridad en $|f(n)|^2$ La curva completa en el segundo gráfico no es tan diferente de los pequeños "dientes" individuales, y la función tiene una estructura significativa tanto en la escala de $n\sim 10^3$ y $n\sim 10^{10}$ .

Personalmente dudo mucho que esta función sea $o(n^\epsilon)$ $\forall \epsilon>0$ pero, por lo demás, no sé qué es.

Aquí está el código simple que escribí para generar los datos anteriores, si alguien está interesado en experimentar:

// To compile: gcc -std=c99 -O3 random_walk.c -o random_walk

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdint.h>

#define NMAX 1e3
#define PRINT_INTERVAL 1

int main(){
  double sum_real=0.;
  double sum_imaginary=0.;
  for(uint_fast64_t k=0; k<=NMAX; k++){
    double kSquared = (double)k*k;
    sum_real += cos(kSquared);
    sum_imaginary += sin(kSquared);
    if(k%PRINT_INTERVAL==0)
      printf("%e\t%e\n", (double)k, sum_real*sum_real + sum_imaginary*sum_imaginary);
  }
}