Para un ideal $I$ de $K[x]$ , $K[x]/I$ está finitamente generada si $I$ no es nulo

Question

En un libro sobre series racionales, se hace una afirmación tajante al respecto:

Para $K$ un campo, $I$ un ideal de $K[x]$ , $K[x]/I$ está finitamente generada si $I$ no es nulo.

La declaración se amplía con la frase no tan esclarecedora (para mí)

Esto es cierto ya que un ideal no nulo en $K[x]$ tiene siempre una codimensión finita ¹, y ésta es igual al grado de cualquier generador de este ideal ².

Deduzco que si (2) es cierto, entonces $K[x]$ puede ser finitamente generada si $K$ es finitamente generada, pero esto es lo más lejos que puedo llegar.

En cuanto a (1), intuyo por qué es cierto, pero no tengo pruebas. Así que necesito ayuda para demostrar toda la afirmación :-) ¡Gracias !

Answer 1

El conjunto de las clases de las potencias de $x$ son claramente generadores de $K[x]/I$ . Recordemos que $K$ es un campo, $K[x]$ es euclidiano por lo que $I$ es generado por un polinomio, dice $P$ de grado $n$ .

Ahora considere cualquier poder $x^l$ con $l>n$ . La división euclidiana da dos polinomios $Q$ y $R$ tal que $$x^l=QP +R$$ con $R$ de grado inferior a $n-1$ . En particular, la clase de $x^l$ en $K[x]/I$ está generado por las clases del $x^k$ con $0\leq k \leq n-1$ y, por tanto, la dimensión de $K[x]/I$ es inferior a $n$ . Para terminar, demuestre que esas clases son efectivamente una base, y compruebe el caso en que $I$ se reduce a $0$ .

Answer 2

Sugerencia $\ $ En cualquier anillo, el algoritmo de división polinómica funciona universalmente para monic polinomios. Por lo tanto, modulo a monic $\rm\:f,\:$ todo polinomio es congruente con uno de grado inferior a $\rm\:deg\: f.\:$

O, computacionalmente, $\rm\:f = x^n\ +\ c_{n-1}\,x^{n-1}+\cdots + c_1\,x + c_0 = 0\:$ puede verse como una regla de reescritura

$$\rm\: x^n \equiv -c_{n-1} x^{n-1} -\cdots -c_1\,x -c_0\pmod f$$

Por inducción, esto permite reescribir todas las potencias de $\rm\:x\:$ a polinomios congruentes de $\rm\:deg < n.\:$

Este monic punto de vista saldrá a relucir cuando más tarde se reúna integral extensiones.

Answer 3

Cuando se escribe finitamente generado siempre es bueno especificar el anillo concreto para el que esto es cierto .

Por ejemplo $K[x]$ siempre está finitamente generado como módulo sobre sí mismo (de hecho, cualquier anillo con unidad $R$ está finitamente generada --- por $1$ --- como módulo sobre sí mismo).

La afirmación de su pregunta se refiere a generación finita sobre $K$ y se podría sustituir finitamente generado por dimensión finita (ya que un $K$ -es lo mismo que un $K$ -y ser finitamente generado es lo mismo que ser finitamente dimensional).

Así pues, la declaración podría simplificarse y aclararse escribiendo

Para $K$ un campo y $I$ un ideal en $K[x]$ el cociente $K[x]/I$ es de dimensión finita como a $K$ -si y sólo si $I$ no es nulo.

La prueba de la si dirección es la indicada en las otras dos respuestas, y la conclusión a la que llevan es que si $I$ (que es necesariamente principal --- el anillo $K[x]$ es un PID) es generado por un grado $n$ polinomio, entonces $K[x]/I$ tiene dimensión $n$ en $K$ .

La prueba de la sólo si es fácil: si $I = 0$ entonces $K[x]/I = K[x]$ y es fácil ver que $K[x]$ es de dimensión infinita sobre $K$ .