Esta función tiene dos puntos de ramificación en $\pm2$ su inversión de la fórmula de la muestra. Por el contrario, $\sqrt z$ solo tiene un solo finito punto de ramificación en $0$; sin embargo, formalmente, también tiene uno en el infinito. (Set $w=1/z$ o mire en la esfera de Riemann para hacer sentido de todo esto.)
Cortes de ramas siempre unir dos puntos de ramificación, por lo tanto el segmento de línea que él eligió. (Una alternativa sería la de dos segmentos de línea de$2\to\infty$$-2\to-\infty$, la que está secretamente una línea que va a través del infinito.)
Me pueden explicar si te gusta, pero esta es la razón.
Tome $f(z)$ a ser principalmente de dos valores, como $f=\sqrt{g(z)}$ polinómicas $z$. Ahora supongamos que intenta definir $f$ a partir de algunos $z_0$ con una de las ramas y sin problemas (analíticamente) de la ampliación. Cuando se hace esta mal? Cuando usted regresa a un punto de $z_1$ te he visto antes, pero con un valor diferente.
Ahora imagine que el dibujo de las dos curvas, seguido de$z_0$$z_1$; se forma un bucle. Inicio apretando por el acercamiento. Ya que debe ser imposible para las dos rutas de acceso para ser fácilmente deformado de una sobre la otra (ya que tienen diferentes valores en el $z_1$ final), debe haber algún punto de $z_\star$ (a lo largo de la línea que casi formados), de tal manera que usted no puede dar un solo valor constante a $f$ en cualquier barrio de $z_\star$. $z_\star$ es un punto de ramificación.
Por ejemplo, con $\sqrt{z}$ esto sucede en el origen. Intuitivamente, si usted ve a su alrededor en una arbitrariamente pequeño círculo, se obtiene un resultado inconsistente.
También sucede en el infinito; de tomar un pequeño círculo en la variable $1/z$ o un gran círculo en $z$ deja claro que tengo el mismo problema aquí.
Por el contrario, $\sqrt{z^2-4}$ tiene dos puntos de ramificación en $\pm 2$. En el infinito, por ejemplo, porque $$z=Re^{i\theta} \implies (z^2-4)^{1/2}\sim (R^2e^{2i\theta})^{1/2}=Re^{i\theta}$$ there is no inconsistency on going round by a circle, as $\theta\sim\theta+2\pi$. (The $z^2$ goes round twice as fast to compensate for the way that $\sqrt z$ lag en la mitad de la velocidad.)
De todos modos, el punto es que si quieres hacer es imposible seguir un par de contradictorios caminos como las descritas anteriormente, entonces parece que usted no puede incluir cualquier región que contiene un punto de ramificación, o de hecho a cualquier región que encierra un punto de ramificación desde la discontinuidad se hará sentir de otra manera. La excepción es que cuando se delimita dos puntos de ramificación, podría ser que va alrededor de ambos de ellos no conduce a una contradicción. De hecho, nos vimos por $\sqrt{z^2-4}$ superior a la de ya. (Es un equivalente de cálculo en este caso para ver que el infinito no es un punto de ramificación.)
Así es, resulta que la exclusión de la región de $(-2,2)$, lo que nos impide hacer cualquier ruta que rodea a sólo uno de los puntos de ramificación, es suficiente para permitir una suave definición en todas partes. ¡Hurra!
