Ampliación de la serie telescópica $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$

Question

Tengo la siguiente seri $$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$$

Estoy intentando expandirla como una serie telescópica y luego calcular la serie de sumas parciales pero no lo he conseguido hasta ahora. Si alguien me puede ayudar a expandirlo como una serie telescópica y explicar cuál es la técnica para ello sería genial.

Gracias.

Answer 1

$$\dfrac{2n+3-(2n-1)}{(2n+3)(2n+1)(2n-1)}$$

$$=\dfrac{1}{(2n+1)(2n-1)}-\dfrac{1}{(2n+3)(2n+1)}$$

$$=F_n-F_{n+1}$$

donde $$F_m=\dfrac{1}{(2m+1)(2m-1)}$$

Answer 2

Otro enfoque eficaz aprovecha las series geométricas y Función beta de Euler : $$\begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}&=&\frac{1}{8}\sum_{k\geq 0}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)}\\&=&\frac{1}{8}\sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma\left(k-\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{5}{2}\right)}\\&=&\frac{1}{8\,\Gamma(3)}\sum_{k\geq 0}B\left(3,k-\frac{1}{2}\right)\\&=&\frac{1}{16}\int_{0}^{1}\sum_{k\geq 0}(1-x)^2 x^{k-3/2}\,dx\\&=&\frac{1}{16}\int_{0}^{1}(1-x) x^{-3/2}\,dx\\&=&\frac{B(2,-1/2)}{16}=\color{red}{-\frac{1}{4}.}\end{eqnarray*}$$

Answer 3

SUGERENCIA:

Utilizando la expansión parcial de fracciones, podemos escribir

$$\begin{align} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}&=\frac18\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}\right)\\\\ &=\frac18 \left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)+\frac18 \left(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+1}\right) \end{align}$$

Answer 4

La técnica se denomina fracciones parciales:

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{(2n-1)}+\frac{B}{2n+1}+\frac{C}{2n+3}$$

Ahora combina los denominadores e iguala los coeficientes.

$$1=A(2n+3)(2n+1)+B(2n-1)(2n+3)+C(2n-1)(2n+1)$$

$$1=A(4n^2+8n+3)+B(4n^2+4n-3)+C(4n^2-1)$$

Lo conseguimos:

$$4A+4B+4C=0$$

$$8A+4B=0$$

$$3A-3B-C=1$$

Para resolver este tipo de ecuaciones se suele recurrir a la sustitución. Nota dividiendo la primera ecuación nos deja con:

$$A+B+C=0$$

Por lo tanto:

$$A+B=-C$$

Sustituyendo por $-C$ en la tercera ecuación da:

$$3A-3B+A+B=1$$

$$4A-2B=1$$

Pero de la segunda ecuación tenemos ahora:

$$8A+4B=0$$

$$4A-2B=1$$

Multiplica el $4A-2B=1$ ecuación por $2$ en ambos lados:

$$8A+4B=0$$

$$8A-4B=2$$

Suma las dos ecuaciones anteriores,

$$16A=2$$

Así que

$$A=\frac{1}{8}$$

Sustituyendo esto de nuevo en una de las ecuaciones en las que acabamos de utilizar la eliminación obtenemos:

$$B=-\frac{1}{4}$$

Ahora recuerda:

$$A+B=-C$$

Así que

$$-(A+B)=C$$

Y por lo tanto,

$$C=\frac{1}{8}$$

Por lo tanto,

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}=\frac{(1/8)}{(2n-1)}-\frac{2/8}{2n+1}+\frac{1/8}{2n+3}=\frac{1/8}{2n-1}-\frac{1/8}{2n+1}+\frac{1/8}{2n+3}-\frac{1/8}{2n+1}$$

Lo he desglosado aún más para que sea más fácil ver las cancelaciones.