¿Qué se consigue con esta relación de equivalencia para todos los $\mathbb{Q}$ secuencias

Question

Considerar todos los $\mathbb{Q}$ secuencias de Cauchy con esta relación de equivalencia

$\{x_n\} \sim \{y_n\} \iff \{x_n-y_n\} \rightarrow 0$

Luego de obtener todos los números reales como una clase de equivalencia con esta relación.

Vamos a considerar ahora todos los $\mathbb{Q}$ secuencias con esta relación de equivalencia. Tenemos un conjunto que contiene todos los números reales y muchos más.

¿Qué podemos decir acerca de los nuevos elementos? Hace que el conjunto representan algún conocido? Podemos obtener algunas interesantes topológico o resultados analíticos al respecto?

Answer 1

Me he pasado toda la noche trabajando en esto, y encontré algunas cosas buenas, así como otros no tan buenos. Y me quedé atrapado en su integridad. Es un post largo.

Voy a empezar con el mal. La definición razonable de la multiplicación no funciona... que es $[x_n]\cdot [y_n] = [x_n y_n]$. Considerar la secuencia de $y_n = n$$y'_n = n+1/n$. Aviso de $\{y_n\} \sim \{y'_n\}$. Deje $x_n = n^2$. Queremos $\{x_n y_n\} \sim \{x_n y'_n\}$. Pero que lamentablemente se compute $$|x_n y_n - x_n y'_n| = |n^3-n^3 + n| = n$$ lo que decididamente no converge a 0. Sin embargo, si asumimos que las secuencias son acotado, entonces este es un lugar bien definido de la operación, así que es bueno.

La división no funciona en todos, como $[(0,1,0,1,...)] \neq 0$, pero no hay manera de dividir a por ella. Tener cualquier sub secuencia de acercarse a $0$ es una mala noticia.

Ahora las buenas noticias. La suma y la multiplicación escalar no funciona, así que estamos en un $\mathbb{Q}$ espacio vectorial. Y la verdadera buena noticia es que este espacio tiene una medida razonable! Llame a nuestro cociente del espacio de $X$.

Deje $[x_n],[y_n] \in X$. Definir $$d([x_n],[y_n]) = \min\big(1,\limsup|x_n-y_n| \big)$$

Tenemos un montón de cosas para ver. Podemos demostrar esto está bien definido. Deje $[y'_n]=[y_n]$$[x'_n]=[x_n]$. Entonces $$\begin{align*} \limsup|x'_n-y'_n| &=\limsup|(x'_n-x_n) + (x_n - y_n) +(y_n-y'_n)|\\ &\leq \limsup|x'_n-x_n| + \limsup|x_n - y_n| +\limsup|y_n-y'_n|\\ &= \limsup|x_n - y_n| \end{align*}$$

Luego repetir la prueba de intercambio de $x'_n$ $x_n$ $y'_n$ $y_n$ vemos que $\limsup|x_n-y_n|= \limsup|x'_n-y'_n|$. La aplicación de la min con $1$ se completa la prueba.

El resto de las pruebas de que $d$ es una métrica que son bastante sencillos, pero que parece funcionar. Es un poco sorprendente que esto no separar puntos, pero $$\limsup|x_n-y_n| = 0 \implica \lim|x_n-y_n| = 0 \implica [x_n]=[y_n]$$ No voy a escribir el resto de las pruebas aquí. Yo te dejan como ejercicios.

Ahora, tenemos una métrica de un espacio vectorial. Así es completa? Me quedé atrapado tratando de probarlo. ¿Alguien sabe si es cierto o no? ¿Y si nos limitamos a delimitadas secuencias?

Ahora Mirando lo que esta métrica no, parece claro que @Joel Cohen comentario es bastante precisa. Dado $x \in X$, un pequeño barrio en torno a $x$ se parece a todas las secuencias que tienen el mismo comportamiento en el infinito modulo una pequeña constante. De hecho, este espacio es mal camino desconectado. Cada comportamiento en el infinito en su propio componente. Supongamos que tenemos un camino de $\gamma:[0,1]\to X$. En cada una de las $\alpha \in [0,1]$, se puede elegir una $\varepsilon$ $\gamma([\max(0,\alpha-\varepsilon),\min(\alpha+\varepsilon,1)]$ contiene sólo los elementos de la misma comportamiento asintótico. A continuación, la compacidad nos dice que podemos elegir un número finito de tales bolas, y vemos que $\gamma(0)$ tiene el mismo comportamiento asintótico como $\gamma(1)$.