Volumen de la cáscara esférica con $dr$ espesor

Question

Consideremos dos esferas en el $(x,y,z)$ espacio 3D, ambos centrados en el origen: el interior con radio $r$ y el exterior con radio $r + dr$ .

Para calcular el volumen de la cáscara esférica entre sus dos superficies, se debe proceder simplemente como sigue:

$$dV = \frac{4}{3} \pi (r + dr)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (r^3 + 3 r^2 dr + 3 r dr^2 + dr^3 - r^3)$$

$$dV = \frac{4}{3} \pi (3 r^2 dr + 3 r dr^2 + dr^3)$$

pero normalmente no se tienen en cuenta los dos últimos términos entre los paréntesis. Sé que $dr$ es infinitesimal, pero pueden los infinitesimales (elevados a $n$ - de la energía, $n>1$ ) se desprecie y aún así se obtenga un exactamente ¿Resultado? ¿Cómo se puede justificar esto?

Answer 1

Olvidemos las cantidades "infinitesimales" y fijémonos en la diferencia que has calculado: $$V(r+h) = V(r)+4\pi r^2h+4\pi rh^2+\frac43\pi h^3.\tag{1}$$ Ahora bien, una forma de definir la diferencial de una función es como la mejor lineal aproximación a la forma en que su valor cambia cerca de un punto determinado, es decir, $dV_r$ es un lineal de tal manera que $$V(r+h)=V(r)+dV_r[h]+\phi(h)$$ donde el error $\phi(h)$ "va a cero" más rápido que $h$ . Más formalmente, $\lim_{h\to0}{\phi(h)\over h}=0$ o, $\phi(h)=o(h)$ . Puedes comprobar por ti mismo que esto es consistente con la definición habitual de límite de un cociente de una derivada de una función de una sola variable. Esta condición asegura que el error total acumulado que se obtiene al sumar estas aproximaciones a los volúmenes de las cáscaras puede hacerse arbitrariamente pequeño haciendo las cáscaras lo suficientemente delgadas.

En términos prácticos, lo que significa lo anterior es que al calcular una diferencial podemos recoger todos los términos que son superiores a los lineales en el desplazamiento $h$ en el término de error $\phi(h)$ . La ecuación (1) se convierte entonces en $$V(r+h)=V(r)+4\pi r^2h+\phi(h)$$ y así $$dV_r[h]=4\pi r^2h,$$ pero $h$ es sólo $dr$ disfrazado.

La idea clave que hay que extraer de esto es que $dV$ es un lineal aproximación al cambio de volumen relativo a un cambio de radio, por lo que podemos desechar los términos de orden superior.

Answer 2

Parece que piensas que descuidar algo es una inexactitud.

Bien, si quieres un resultado exacto no vayas a por $ dr$ en absoluto, sino que utiliza el $ \Delta V= 4 \pi (R^3-r^3)/3$ en su lugar.

Cuando $R \approx r $ entonces la diferencia radial es $ dr$ los términos de orden superior que has dado en la última línea se pueden despreciar con $ dr$ poderes.

Utilizando la diferenciación del volumen $ V = 4 \pi r^3/3 $ con respecto al radio, obtenemos el área (la tasa de cambio del volumen es el área)

$$ \frac {dV} {dr}= 4 \pi r^{2}, {dV}= 4 \pi r^2 \, dr $$

Por lo tanto, el procedimiento ha desestimado automáticamente las potencias superiores sin ese cálculo.

Answer 3

Si $dr$ se define como infinitamente mínimo al principio, entonces es de suponer que no es el grosor de una sola cáscara lo que te interesa, sino algo más, como el volumen de una esfera formada por un número infinitamente grande de cáscaras infinitamente gruesas.

Una forma de racionalizar mentalmente el descuido de los términos menores en tal caso es examinar la magnitud de su total sumado sobre todas las cáscaras de la esfera. A continuación, observe cómo la magnitud relativa de esa suma disminuye (en relación con la magnitud de la suma del término mayor) a medida que aumenta el número (y disminuye el grosor) de las conchas.

Por ejemplo, suponiendo que el volumen de una esfera viene dado por $\frac{4\pi }{3}R^3$ podemos derivar una fórmula exacta para el volumen de cualquier cáscara esférica como

$$Vshell = \frac{4\pi }{3}(3r^2 h + \frac{h^3}{4})$$

donde $h$ es el espesor de la cáscara y $r$ es el radio hasta el centro de la cáscara. Esta expresión puede utilizarse para calcular el volumen exacto de una esfera compuesta por un pequeño número de cáscaras de espesor finito $h$ .

$$Vsphere = \frac{4\pi }{3}\sum_{r=1} ^{r=n} (3 r^2 h + \frac{h^3}{4} )$$

El término menor $\frac{4\pi }{3}\frac{h^3}{4}$ no se puede descuidar en este caso.

Por ejemplo, en una esfera de radio $R$ y $n=4$ conchas, cada una de ellas con un grosor $h=R/4$ la suma total del término menor representa 1/64 del volumen de la cáscara. (En este ejemplo los radios de la cáscara son $\frac{h}{2}$ , $\frac{3h}{2}$ , $\frac{5h}{2}$ y $\frac{7h}{2}$ ).

En todos los casos, el total del término menor sumado sobre todas las conchas es $\frac{4\pi }{3}\frac{nh^3}{4}$ que (utilizando $n=\frac{R}{h})$ se reduce a $\frac{\pi}{3}Rh^2$ . Es evidente que este total menor será progresivamente menor a medida que se reduzca el espesor de la cáscara h, tendiendo a cero a medida que $h$ tiende a $\frac{1}{\infty}$ . Al mismo tiempo (como $h$ se reduce) el total del término mayor tenderá hacia $\frac{4\pi }{3}R^3$ con la disminución de $h$ siendo compensado completamente por el aumento del número de conchas ( $n$ ).